Tema 1.4: Matemática. Teoría de potencias fraccionarias.

Matemáticas: Exponentes Fraccionarios, Raíces y Radicales VOLVER AL TEMARIO SIGUIENTE TEMA

TEORÍA DE POTENCIAS FRACCIONARIAS

Exponentes Fraccionarios

Un exponente fraccionario se puede expresar como:

\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\]

Por ejemplo: \[ 27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9 \] \[ 16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8 \] \[ 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9 \]


Restricciones para exponentes fraccionarios de bases negativas:

- Si el denominador del exponente fraccionario es par, la base debe ser positiva para evitar números complejos. Por ejemplo, \( (-2)^{\frac{1}{2}} \) no es un número real porque el índice es par (2). - Si el denominador es impar, la base puede ser negativa y el resultado será un número real. Por ejemplo, \( (-8)^{\frac{1}{3}} = -2 \).

Raíces y Radicales

La raíz de un número \( x \) es:

\[\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\]

Partes del Radical

En una expresión radical, las partes son:

  • Índice: El número \( n \) en \( \sqrt[n]{a} \), que indica el tipo de raíz.
  • Radicando: El número \( a \) bajo el signo de la raíz, el cual estamos extrayendo.
  • Resultado: El valor final después de aplicar la operación radical.

Propiedades de Radicación:

  • Producto de Raíces con Igual Índice:

    \[\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\]

    Ejemplos:

    • \[ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{4 \cdot 9} = \sqrt[3]{36} = 6^{\frac{1}{3}} \]
    • \[ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16} = 2 \]
    • \[ \sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[2]{20} = \sqrt[2]{5 \cdot 20} = \sqrt[2]{100} = 10 \]
  • Cociente de Raíces con Igual Índice:

    \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]

    Ejemplos:

    • \[ \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2} \]
    • \[ \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{16}{2}} = \sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} \]
    • \[ \frac{\sqrt[2]{50}}{\sqrt[2]{2}} = \sqrt[2]{\frac{50}{2}} = \sqrt[2]{25} = 5 \]
  • Raíz de una Potencia:

    \[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]

    Ejemplos:

    • \[ \sqrt[3]{8^2} = 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4 \]
    • \[ \sqrt[4]{81^3} = 81^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{531441} = 27 \]
    • \[ \sqrt[2]{25^4} = 25^{\frac{4}{2}} = 25^2 = 625 \]
  • Potencia de una Raíz:

    \[(\sqrt[n]{a})^m = a^{\frac{m}{n}}\]

    Ejemplos:

    • \[ (\sqrt[2]{9})^3 = 9^{\frac{3}{2}} = \sqrt{729} = 27 \]
    • \[ (\sqrt[3]{27})^2 = 27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{729} = 9 \]
    • \[ (\sqrt[4]{16})^3 = 16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{4096} = 8 \]
  • Raíz de una Raíz:

    \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\]

    Ejemplos:

    • \[ \sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2 \]
    • \[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{27}} = \sqrt[12]{27} = \sqrt[12]{3^3} = 3^{\frac{1}{4}} \]
    • \[ \sqrt[2]{\sqrt[4]{16}} = \sqrt[8]{16} = \sqrt[8]{2^4} = 2^{\frac{1}{2}} \]

Valor Absoluto y Radicales

El valor absoluto de un número \( x \) es: \[ |x| = \sqrt{x^2} \]


Ejercicios resueltos ER.1.4

Para realizar estos ejercicios, has clic en "ver ejercicios" o "descargar pdf".

VER EJERCICIOS DESCARGAR PDF

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Números naturales y enteros. Operaciones.

Curso de Números Naturales y Enteros Curso Básico: Números Naturales y Enteros 1. Introducción a los Números Naturales y Enteros Números Naturales: Definición: Los números naturales son los números positivos que se utilizan para contar y ordenar. Empiezan desde 1 e incluyen todos los números positivos enteros: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Símbolo: ℕ (a veces también se incluye el 0, en cuyo caso se denota ℕ₀). Números Enteros: Definición: Los números enteros incluyen todos los números naturales, sus opuestos negativos y el cero. Por lo tanto, los enteros son: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Símbolo: ℤ 2. Definición de Diferencia en Números Enteros Diferencia: La diferencia entre dos números enteros se refiere al resultado de restar un número entero de otro. Dada una resta entre dos enteros \( a \) y \( b \), la diferencia se representa como \( a - b...
Leer más

Fracciones 2

Operaciones con Fracciones Operaciones con Fracciones \(\frac {6}{50} - \frac{8}{45} - \frac{3}{20}\). Resp: \(\frac{-187}{900}\). \(\frac{2}{15} \cdot \left( \frac{2}{45} + \frac{3}{12} \right) + \frac{4}{60} \cdot \left( \frac{8}{225} - \frac{2}{3} \right)\) Resp: \(\frac{-19}{6750}\). \(\left( \frac{9}{90} - \frac{4}{50} \right) \cdot \left( \frac{6}{2} + \frac{3}{900} \right) - \frac{6}{60}\) Resp: \(\frac{-599}{15000}\). \(\left( \frac{7}{2} - \frac{9}{25} \right) \cdot \left( \frac{6}{6} - \frac{9}{5} \right) + \left( \frac{4}{18} + \frac{2}{20} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{300} \right)\) Resp: \( \frac{-3449}{1500} \). \(\frac {4}{20} - \frac{1}{25} + \frac{7}{9}\). Resp: \(\frac{211}{225}\). \(\frac{8}{12} \cdot \left( \frac{3}{45} - \frac{7}{5} \right) - \frac{9}{900} \cdot \left( \frac{4}{2} + \frac{8}{225} \right)\) Resp: \(\frac{-10229}{11250}\). \(\left( \frac{9}{100} - \frac{1}...
Leer más