Tema 1.5: Matemática. Introducción y extracción de factores en un radical

Introducción y Extracción de Factores en Radicales VOLVER AL TEMARIO SIGUIENTE TEMA

EXTRACCIÓN E INTRODUCCION DE FACTORES EN UN RADICAL

En matemáticas, los radicales son expresiones que incluyen raíces. La extracción de factores de un radical puede simplificar la expresión. Vamos a ver cómo hacerlo paso a paso.

Extracción de Factores de un Radical

Considera la expresión: \( \sqrt[3]{a^5 \cdot b^7} \)

Para simplificar esta expresión, debes dividir los exponentes de los factores dentro del radical por el índice de la raíz, que en este caso es 3:

Para \( a^5 \), divide el exponente 5 entre el índice 3:

\( \frac{5}{3} = 1 \text{ cociente } 2 \text{ residuo } \)

Esto significa que \( a^5 = a^3 \cdot a^2 \). El factor \( a^3 \) sale del radical y el \( a^2 \) queda dentro del radical.

Para \( b^7 \), divide el exponente 7 entre el índice 3:

\( \frac{7}{3} = 2 \text{ cociente } 1 \text{ residuo } \)

Esto significa que \( b^7 = b^6 \cdot b^1 \). El factor \( b^6 \) sale del radical y el \( b^1 \) queda dentro del radical.

Aplicando estas divisiones, podemos reescribir la expresión como:

\( \sqrt[3]{a^5 \cdot b^7} = a \cdot b^2 \cdot \sqrt[3]{a^2 \cdot b} \)

Esto significa que \( a \) y \( b^2 \) están fuera del radical, y dentro del radical quedan \( a^2 \cdot b \), que son los residuos de las divisiones.

Ejemplo 1

Considera la expresión: \( \sqrt[4]{x^9 \cdot y^{10}} \)

Para simplificar esta expresión, divide los exponentes de los factores dentro del radical por el índice de la raíz, que en este caso es 4:

Para \( x^9 \), divide el exponente 9 entre el índice 4:

\( \frac{9}{4} = 2 \text{ cociente } 1 \text{ residuo } \)

Esto significa que \( x^9 = x^8 \cdot x^1 \). El factor \( x^8 \) sale del radical y el \( x^1 \) queda dentro del radical.

Para \( y^{10} \), divide el exponente 10 entre el índice 4:

\( \frac{10}{4} = 2 \text{ cociente } 2 \text{ residuo } \)

Esto significa que \( y^{10} = y^8 \cdot y^2 \). El factor \( y^8 \) sale del radical y el \( y^2 \) queda dentro del radical.

Aplicando estas divisiones, podemos reescribir la expresión como:

\( \sqrt[4]{x^9 \cdot y^{10}} = x^2 \cdot y^2 \cdot \sqrt[4]{x \cdot y^2} \)

Ejemplo 2

Considera la expresión:

\( \sqrt[2]{p^8 \cdot q^5} \)

Para simplificar esta expresión, divide los exponentes de los factores dentro del radical por el índice de la raíz, que en este caso es 2:

Para \( p^8 \), divide el exponente 8 entre el índice 2:

\( \frac{8}{2} = 4 \text{ cociente } 0 \text{ residuo } \)

Esto significa que \( p^8 = (p^4)^2 \). El factor \( (p^4)^2 \) sale del radical y no queda nada dentro del radical.

Para \( q^5 \), divide el exponente 5 entre el índice 2:

\( \frac{5}{2} = 2 \text{ cociente } 1 \text{ residuo } \)

Esto significa que \( q^5 = (q^2)^2 \cdot q \). El factor \( (q^2)^2 \) sale del radical y el \( q \) queda dentro del radical.

Aplicando estas divisiones, podemos reescribir la expresión como:

\( \sqrt{p^8 \cdot q^5} = p^4 \cdot q^2 \cdot \sqrt{q} \)

Introducción de Factores en un Radical

Para introducir un factor en un radical, como por ejemplo \( a \) en \( a \cdot \sqrt{b} \), se utiliza la siguiente fórmula:

\( a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \)

Esto significa que puedes elevar el factor fuera del radical al cuadrado y luego multiplicarlo por el radicando dentro del radical para simplificar la expresión. La fórmula general para introducir un factor en un radical cuadrado es elevar el factor al cuadrado, y luego usarlo en la raíz cuadrada.

Por ejemplo:

\( 3 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \)

Ejemplo 1

Considera el producto:

\( 4 \cdot \sqrt{7} \)

Para introducir el factor 4 en el radical, elevamos 4 al cuadrado y multiplicamos por el radicando:

\( 4 \cdot \sqrt{7} = \sqrt{4^2 \cdot 7} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{112} \)

Ejemplo 2

Considera el producto:

\( 2 \cdot \sqrt{3x} \)

Para introducir el factor 2 en el radical, elevamos 2 al cuadrado y multiplicamos por el radicando:

\( 2 \cdot \sqrt{3x} = \sqrt{2^2 \cdot 3x} = \sqrt{4 \cdot 3x} = \sqrt{12x} \)


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