Tema 2.1: Matemática: Relaciones de orden en los números reales. Desigualdades.

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RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES. DESIGUALDADES.

Conjunto de Números Reales

Los números reales son un conjunto completamente ordenado. Esto significa que se puede comparar cualquier par de números reales utilizando las relaciones:

• Menor que ( < )
• Mayor que ( > )
• Menor o igual que ( ≤ )
• Mayor o igual que ( ≥ )

Propiedades de la Relación de Orden Menor o Igual Que

La relación \( \leq \) en los números reales tiene tres propiedades fundamentales:

1. Reflexividad

Para cualquier número real \( a \), se cumple que:

\( a \leq a \).

\( a \leq a \)

Ejemplo 1: Si \( a = 5 \), entonces \( 5 \leq 5 \).

Ejemplo 2: Si \( a = \sqrt{2} \), entonces \( \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \).

2. Antisimetría

Si \( a \leq b \) y \( b \leq a \), entonces \( a = b \)

Ejemplo 1: Si \( a = \frac{3}{4} \) y \( b = \frac{3}{4} \), entonces \( \frac{3}{4} \leq \frac{3}{4} \) y \( \frac{3}{4} \leq \frac{3}{4} \), por lo que \( \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \).

Ejemplo 2: Si \( a = 1.5 \) y \( b = 1.5 \), se cumple que \( 1.5 \leq 1.5 \) y \( 1.5 \leq 1.5 \), lo que implica \( 1.5 = 1.5 \).

3. Transitividad

Si \( a \leq b \) y \( b \leq c \), entonces \( a \leq c \)/b>

Ejemplo 1: Si \( a = 1 \), \( b = 2 \) y \( c = \sqrt{2} \), entonces \( 1 \leq \sqrt{2} \) y \(\sqrt{2} \leq 2\), por lo que \( 1 \leq 2 \).

Ejemplo 2: Si \( a = -1 \), \( b = 0 \) y \( c = 1 \), se cumple que \( -1 \leq 0 \) y \( 0 \leq 1 \), lo que implica \( -1 \leq 1 \).

Desigualdades

Las desigualdades son expresiones que indican que dos valores pueden no ser iguales o de hecho no lo son. Las formas comunes son:

• \( a < b \) (a es menor que b)
• \( a > b \) (a es mayor que b)
• \( a \leq b \) (a es menor o igual que b)
• \( a \geq b \) (a es mayor o igual que b)

Ejemplos:

• \( 2 < 3 \) (2 es menor que 3)
• \( 4 > 1 + 2 \) (4 es mayor que 1 + 2)
• \( 2 \leq 1 + 1 \) (2 es menor o igual que 1 + 1)
• \( 5 \geq 2 + 2 \) (5 es mayor o igual que 2 + 2)
• \( \sqrt{3} < 2 \) (aproximadamente 1.732 es menor que 2)
• \( \frac{1}{3} \geq 0 \) (1/3 es mayor o igual que 0)