Tema 1.1: Números irracionales

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NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es un número "real" que no puede ser expresado como una fracción de dos enteros. Dicho de otro modo, un número irracional no puede escribirse en la forma \( \frac{p}{q} \), donde \( p \) y \( q \) son enteros y \( q \neq 0 \).

Ejemplos

  • La raíz cuadrada de números no cuadrados perfectos:

    \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), etc. Por ejemplo, \(\sqrt{2}\) no puede ser expresado como una fracción exacta de dos números enteros.

  • El número \(\pi\):

    \(\pi \approx 3.14159265358979 \ldots\) El número \(\pi\) es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Es famoso por ser irracional y también transcendental.

  • El número \(e\):

    \(e \approx 2.71828182845904 \ldots\) \(e\) es la base del logaritmo natural y también es un número irracional y transcendental.

  • La razón áurea \(\phi\):

    La razón áurea, denotada por \(\phi\) (phi), es un número irracional que aparece en diversas áreas de la matemática y el arte. Su valor exacto es: \[ \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989 \ldots \] La razón áurea tiene la propiedad única de que su recíproco es igual a su diferencia menos uno: \[ \frac{1}{\phi} = \phi - 1 \]

Cifras Significativas

Las cifras significativas son los dígitos en un número que contribuyen a su precisión. Incluyen todos los dígitos diferentes de cero, los ceros entre ellos, y los ceros a la derecha del último dígito significativo en una cifra decimal.

Por ejemplo, en el número 0.00456, las cifras significativas son 4, 5 y 6, y el número tiene 3 cifras significativas. En el número 123.450, las cifras significativas son 1, 2, 3, 4, 5 y 0, con 6 cifras significativas en total.

Redondeo

El redondeo es el proceso de ajustar un número para hacerlo más simple y fácil de manejar, manteniendo una aproximación dentro de un margen de error aceptable. Aquí está el procedimiento para redondear un número:

  1. Determina el lugar de redondeo: Decide el número de cifras significativas o decimales a las que deseas redondear.
  2. Observa el dígito siguiente: Mira el dígito inmediatamente después del lugar de redondeo.
  3. Redondea:
    • Si el dígito siguiente es menor que 5, mantén el dígito en el lugar de redondeo y elimina los dígitos restantes.
    • Si el dígito siguiente es 5 o mayor, aumenta el dígito en el lugar de redondeo en 1 y elimina los dígitos restantes.
  4. Ejemplos:
    • Redondear \(\sqrt{2} \approx 1.414213...\) a dos cifras decimales: \[ \sqrt{2} \approx 1.41 \] Aquí, el dígito después del segundo decimal es 4, que es menor que 5, así que mantenemos 1.41.

    • Redondear \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1.414213 + 1.732051 = 3.146264\) a dos cifras decimales: \[ \sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3.15 \] Aquí, el dígito después del segundo decimal es 6, que es mayor o igual a 5, así que redondeamos 3.146264 a 3.15.

    • Redondear \(\pi \approx 3.14159265358979...\) a tres cifras decimales: \[ \pi \approx 3.142 \] Aquí, el dígito después del tercer decimal es 1, que es menor que 5, así que mantenemos 3.142.


Truncamiento

El truncamiento es el proceso de cortar un número después de un cierto número de cifras sin redondear. Aquí está el procedimiento para truncar un número:

  1. Determina el lugar de truncamiento: Decide el número de cifras significativas o decimales hasta donde deseas truncar.
  2. Corta el número: Elimina todos los dígitos después del lugar de truncamiento sin cambiar el dígito en el lugar de truncamiento.
  3. Ejemplos:
    • Truncar \(\sqrt{2} \approx 1.414213...\) a dos cifras decimales: \[ \sqrt{2} \approx 1.41 \] Aquí, simplemente eliminamos los dígitos después del segundo decimal, resultando en 1.41.

    • Truncar \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \approx \frac{2.23606797749979}{2.64575131106459} \approx 0.845154254728516\) a tres cifras decimales: \[ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \approx 0.845 \] Aquí, simplemente eliminamos los dígitos después del tercer decimal, resultando en 0.845.
      • Truncar \(\pi \approx 3.14159265358979...\) a tres cifras decimales: \[ \pi \approx 3.141 \] Aquí, simplemente eliminamos los dígitos después del tercer decimal, resultando en 3.141.

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