Tema 1.2: “Definición” de números reales. Operaciones básicas. Propiedades de las operaciones.

Definición de Números Reales y Operaciones VOLVER A TEMARIO SIGUIENTE TEMA

Definición de Números Reales, Operaciones Básicas y Propiedades

"Definición" de Números Reales

Los números reales (\(\mathbb{R}\)) son un conjunto numérico que incluye tanto a los números racionales como a los números irracionales. Se representan comúnmente en una recta numérica continua y abarcan todos los números que pueden ser encontrados en la vida diaria. Formalmente, los números reales se dividen en:

  • Números Naturales: \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\)
  • Números Enteros: \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\)
  • Números Racionales: \(\mathbb{Q}\), que son números que pueden expresarse como el cociente de dos enteros, \(\frac{p}{q}\), donde \(p\) y \(q\) son enteros y \(q \neq 0\).
  • Números Irracionales: Números que no pueden expresarse como una fracción exacta de dos enteros. Ejemplos incluyen \(\sqrt{2}\), \(\pi\), etc.


Operaciones Básicas

Sobre los números reales están definidas solamente dos operaciones básicas:

  • Adición: Para cualesquiera dos números reales \(a\) y \(b\), la suma \(a + b\) también es un número real.
  • Multiplicación: Para cualesquiera dos números reales \(a\) y \(b\), el producto \(a \cdot b\) también es un número real.

La resta y la división son operaciones derivadas de las operaciones básicas:

  • Resta: La diferencia \(a - b\) se define como \(a + (-b)\), donde \(-b\) es el opuesto aditivo de \(b\).
  • División: El cociente \(\frac{a}{b}\) (donde \(b \neq 0\)) se define como \(a \cdot b^{-1}\), donde \(b^{-1}\) es el inverso multiplicativo de \(b\).


Propiedades de las Operaciones

Propiedades Aditivas

  • Clausura: Para cualesquiera dos números reales \(a\) y \(b\), \(a + b\) es un número real.

    Ejemplo 1: Si \(a = 3\) y \(b = 5\), entonces \(a + b = 3 + 5 = 8\), que es un número real.

    Ejemplo 2: Si \(a = -2\) y \(b = \frac{1}{2}\), entonces \(a + b = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\), que también es un número real.

  • Propiedad Asociativa: Para cualesquiera tres números reales \(a\), \(b\), y \(c\), se cumple: \[ (a + b) + c = a + (b + c) \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 2\), \(b = 3\), y \(c = 4\), entonces: \[ (a + b) + c = (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 \] y \[ a + (b + c) = 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -1\), \(b = \frac{1}{2}\), y \(c = 3\), entonces: \[ (a + b) + c = (-1 + \frac{1}{2}) + 3 = -\frac{1}{2} + 3 = \frac{5}{2} \] y \[ a + (b + c) = -1 + (\frac{1}{2} + 3) = -1 + \frac{7}{2} = \frac{5}{2} \]

  • Propiedad Conmutativa: Para cualesquiera dos números reales \(a\) y \(b\), se cumple: \[ a + b = b + a \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 4\) y \(b = 7\), entonces: \[ a + b = 4 + 7 = 11 \] y \[ b + a = 7 + 4 = 11 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -3\) y \(b = 2\), entonces: \[ a + b = -3 + 2 = -1 \] y \[ b + a = 2 + (-3) = -1 \]

  • Elemento Neutro: El elemento neutro para la adición es 0, ya que: \[ a + 0 = a \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 5\), entonces: \[ a + 0 = 5 + 0 = 5 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -7\), entonces: \[ a + 0 = -7 + 0 = -7 \]

  • Opuesto Aditivo: Para cada número real \(a\), su opuesto aditivo es \(-a\), tal que: \[ a + (-a) = 0 \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 6\), entonces: \[ a + (-a) = 6 + (-6) = 0 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -4\), entonces: \[ a + (-a) = -4 + 4 = 0 \]


Propiedades Multiplicativas

  • Clausura: Para cualesquiera dos números reales \(a\) y \(b\), \(a \cdot b\) es un número real.

    Ejemplo 1: Si \(a = 3\) y \(b = 4\), entonces \(a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12\), que es un número real.

    Ejemplo 2: Si \(a = -4\) y \(b = \frac{1}{2}\), entonces \(a \cdot b = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2\), que también es un número real.

  • Propiedad Asociativa: Para cualesquiera tres números reales \(a\), \(b\), y \(c\), se cumple: \[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 2\), \(b = 3\), y \(c = 4\), entonces: \[ (a \cdot b) \cdot c = (2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \] y \[ a \cdot (b \cdot c) = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -1\), \(b = \frac{1}{2}\), y \(c = 3\), entonces: \[ (a \cdot b) \cdot c = (-1 \cdot \frac{1}{2}) \cdot 3 = -\frac{1}{2} \cdot 3 = -\frac{3}{2} \] y \[ a \cdot (b \cdot c) = -1 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 3) = -1 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \]

  • Propiedad Conmutativa: Para cualesquiera dos números reales \(a\) y \(b\), se cumple: \[ a \cdot b = b \cdot a \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 5\) y \(b = 7\), entonces: \[ a \cdot b = 5 \cdot 7 = 35 \] y \[ b \cdot a = 7 \cdot 5 = 35 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -2\) y \(b = \frac{3}{4}\), entonces: \[ a \cdot b = -2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \] y \[ b \cdot a = \frac{3}{4} \cdot (-2) = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \]

  • Elemento Identidad: El elemento identidad para la multiplicación es 1, ya que: \[ a \cdot 1 = a \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 8\), entonces: \[ a \cdot 1 = 8 \cdot 1 = 8 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -3\), entonces: \[ a \cdot 1 = -3 \cdot 1 = -3 \]

  • Inverso Multiplicativo: Para cada número real \(a\) (donde \(a \neq 0\)), su inverso multiplicativo es \(\frac{1}{a}\), tal que: \[ a \cdot \frac{1}{a} = 1 \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 4\), entonces: \[ a \cdot \frac{1}{a} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -5\), entonces: \[ a \cdot \frac{1}{a} = -5 \cdot \frac{1}{-5} = 1 \]


Propiedades Derivadas

  • Ley de Cancelación de la Adición: Si \(a + b = a + c\), entonces \(b = c\).

    Ejemplo 1: Si \(a = 2\), \(b = 5\), y \(c = 5\), entonces: \[ a + b = a + c \implies 2 + 5 = 2 + 5 \] Por lo tanto, \(b = c\).

    Ejemplo 2: Si \(a = -3\), \(b = 7\), y \(c = 7\), entonces: \[ a + b = a + c \implies -3 + 7 = -3 + 7 \] Por lo tanto, \(b = c\).

  • Ley de Cancelación de la Multiplicación: Si \(a \cdot b = a \cdot c\) y \(a \neq 0\), entonces \(b = c\).

    Ejemplo 1: Si \(a = 3\), \(b = 4\), y \(c = 4\), entonces: \[ a \cdot b = a \cdot c \implies 3 \cdot 4 = 3 \cdot 4 \] Por lo tanto, \(b = c\).

    Ejemplo 2: Si \(a = -2\), \(b = 5\), y \(c = 5\), entonces: \[ a \cdot b = a \cdot c \implies -2 \cdot 5 = -2 \cdot 5 \] Por lo tanto, \(b = c\).

  • Multiplicación por \(-1\): Para cualquier número real \(a\), se cumple: \[ a \cdot (-1) = -a \]

    Ejemplo 1: Si \(a = 7\), entonces: \[ a \cdot (-1) = 7 \cdot (-1) = -7 \]

    Ejemplo 2: Si \(a = -4\), entonces: \[ a \cdot (-1) = -4 \cdot (-1) = 4 \]

  • Unicidad del Elemento Neutro: El elemento neutro para la adición es único.

    Ejemplo 1: El único elemento neutro para la adición es 0. Si \(a = 5\), entonces: \[ a + 0 = 5 + 0 = 5 \]

    Ejemplo 2: El único elemento neutro para la adición es 0. Si \(a = -3\), entonces: \[ a + 0 = -3 + 0 = -3 \]

  • Unicidad del Elemento Identidad: El elemento identidad para la multiplicación es único.

    Ejemplo 1: El único elemento identidad para la multiplicación es 1. Si \(a = 6\), entonces: \[ a \cdot 1 = 6 \cdot 1 = 6 \]

    Ejemplo 2: El único elemento identidad para la multiplicación es 1. Si \(a = -2\), entonces: \[ a \cdot 1 = -2 \cdot 1 = -2 \]

  • Unicidad del Opuesto Aditivo: El opuesto aditivo de un número real es único.

    Ejemplo 1: El único opuesto aditivo de 3 es -3, ya que: \[ 3 + (-3) = 0 \]

    Ejemplo 2: El único opuesto aditivo de -5 es 5, ya que: \[ -5 + 5 = 0 \]

  • Unicidad del Inverso Multiplicativo: El inverso multiplicativo de un número real distinto de 0 es único.

    Ejemplo 1: El único inverso multiplicativo de 4 es \(\frac{1}{4}\), ya que: \[ 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 \]

    Ejemplo 2: El único inverso multiplicativo de -2 es \(-\frac{1}{2}\), ya que: \[ -2 \cdot -\frac{1}{2} = 1 \]

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