Tema 2.2: Intervalos. Inecuaciones: Lineales y cuadráticas, cocientes, raíces cuadradas, valor abosoluto.

Intervalos en Matemáticas

Un intervalo es un conjunto de números que comprende todos los valores entre dos puntos específicos. Se utilizan en diversas ramas de las matemáticas y son fundamentales para el estudio de funciones y propiedades numéricas.

Tipos de Intervalos

Intervalos Propios

1. Intervalo Cerrado
   Definición: Incluye ambos extremos.
   Notación: \([a, b]\)
   Ejemplos:
   • \([1, 3]\): Incluye 1, 2 y 3.
   • \([-3, 2]\): Incluye -3, -2, -1, 0, 1 y 2.
2. Intervalo Abierto
   Definición: No incluye los extremos.
   Notación: \((a, b)\)
   Ejemplos:
   • \((1, 3)\): Incluye todos los números entre 1 y 3, excluyendo 1 y 3.
   • \((-2, 2)\): Incluye todos los números entre -2 y 2, excluyendo -2 y 2.
3. Intervalo Semiabierto (o Semi Cerrado)
   Definición: Un extremo incluido y el otro no.
   Notación: \([a, b)\) o \((a, b]\)
   Ejemplos:
   • \([2, 5)\): Incluye 2, 3 y 4, pero no 5.
   • \((1, 3]\): Incluye 2 y 3, pero no 1.

Intervalos Impropios

1. Intervalo Impropio Abierto por la Izquierda
   Definición: Incluye todos los números que son mayores que un límite inferior \(a\) y se extiende indefinidamente hacia la derecha.
   Notación: \((a, +\infty)\)
   Ejemplos:
   • \((5, +\infty)\): Incluye todos los números mayores que 5.
   • \((-2, +\infty)\): Incluye todos los números mayores que -2.
2. Intervalo Impropio Abierto por la Derecha
   Definición: Incluye todos los números que son menores que un límite superior \(b\) y se extiende indefinidamente hacia la izquierda.
   Notación: \((-\infty, b)\)
   Ejemplos:
   • \((-\infty, 3)\): Incluye todos los números menores que 3.
   • \((-\infty, 0)\): Incluye todos los números negativos y cero.
3. Intervalo Impropio Cerrado por la Izquierda
   Definición: Incluye todos los números que son menores o iguales a un límite superior \(a\) y se extiende indefinidamente hacia la izquierda.
   Notación: \((-\infty, a]\)
   Ejemplos:
   • \((-\infty, 5]\): Incluye todos los números menores o iguales a 5.
   • \((-\infty, 0]\): Incluye todos los números negativos y el cero.
4. Intervalo Impropio Cerrado por la Derecha
   Definición: Incluye todos los números que son mayores o iguales a un límite inferior \(b\) y se extiende indefinidamente hacia la derecha.
   Notación: \([b, +\infty)\)
   Ejemplos:
   • \([3, +\infty)\): Incluye todos los números mayores o iguales a 3.
   • \([1, +\infty)\): Incluye todos los números mayores o iguales a 1.

Propiedades de los Intervalos

• Conjuntos Ordenados: Los intervalos son subconjuntos de los números reales y están ordenados. Por ejemplo, \([2, 5]\) incluye todos los números entre 2 y 5.
• Intersección de Intervalos: Dos intervalos pueden cruzarse. La intersección se da cuando se toman en cuenta solo los valores que pertenecen a ambos intervalos.
  Ejemplo: \([1, 4] \cap [3, 5] = [3, 4]\).
• Unión de Intervalos: Si se tienen dos intervalos que no se superponen, la unión de estos intervalos es un nuevo intervalo que incluye todos los números de ambos.
  Ejemplo: \([1, 2] \cup [3, 4] = [1, 2] \cup [3, 4]\).

Aplicaciones

Los intervalos se utilizan en diversas áreas:

• Cálculo: Para definir límites y continuidad de funciones.
• Estadística: En la construcción de intervalos de confianza.
• Geometría: Para determinar distancias y áreas.