Tema 1.3: Matemática. Teoría de potencias enteras.

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TEORÍA DE POTENCIAS ENTERAS

Definición de Potencia

La potencia de un número \( a \) elevado a un exponente \( n \) se denota como \( a^n \) y se define como:

Si \( a \) es un número real y \( n \) es un entero positivo, la potencia se calcula como:

\[ a^n = a \times a \times \cdots \times a \quad (\text{n veces}) \]


Exponentes Enteros

Los exponentes enteros incluyen tanto exponentes positivos como negativos. Aquí discutimos cada caso:

Exponentes Positivos

Si \( n \) es un entero positivo, la potencia \( a^n \) se define como la multiplicación repetida de \( a \) por sí mismo \( n \) veces.

Ejemplos:

  • Para \( a = 3 \) y \( n = 4 \):

    • \[ 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \]

  • Para \( a = 2 \) y \( n = 5 \):

    • \[ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \]

  • Para \( a = 7 \) y \( n = 2 \):

    • \[ 7^2 = 7 \times 7 = 49 \]

Exponente Cero

Para cualquier número real \( a \) (excepto 0), se cumple que:

\[a^0 = 1\]

Esto es porque la multiplicación repetida de ningún número debe dar como resultado el número uno. Para cualquier base \( a \neq 0 \), la potencia a la cero es uno.

Ejemplos:

  • Para \( a = 5 \):

    • \[ 5^0 = 1 \]

  • Para \( a = -3 \):

    • \[ (-3)^0 = 1 \]

  • Para \( a = 0.7 \):

    • \[ 0.7^0 = 1 \]

Exponentes Negativos

Para un número real \( a \neq 0 \) y un entero positivo \( n \), el exponente negativo se define como:

\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]

Esto se debe a que el exponente negativo indica el inverso de la base elevada al exponente positivo.

Ejemplos:

  • Para \( a = 2 \) y \( n = 3 \):

    • \[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]

  • Para \( a = 4 \) y \( n = 2 \):

    • \[ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \]

  • Para \( a = 0.5 \) y \( n = 4 \):

    • \[ 0.5^{-4} = \frac{1}{0.5^4} = 16 \]

Restricción de \(0^0\)

La expresión \(0^0\) es un caso especial y no está bien definida en matemáticas. En algunos contextos, se define como 1 para simplificar fórmulas, pero en otros se considera indefinida debido a la ambigüedad en la multiplicación de cero.


Propiedades de las Potencias

Las potencias tienen varias propiedades importantes que facilitan los cálculos y simplificaciones. A continuación se detallan con ejemplos:

Propiedad del Producto

Para cualquier número real \( a \) y enteros positivos \( m \) y \( n \), se cumple que:

\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]

Ejemplos:

  • Para \( a = 2 \), \( m = 3 \) y \( n = 2 \):

    • \[ 2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \]

  • Para \( a = 5 \), \( m = 1 \) y \( n = 4 \):

    • \[ 5^1 \times 5^4 = 5^{1+4} = 5^5 = 3125 \]

  • Para \( a = 10 \), \( m = 2 \) y \( n = 3 \):

    • \[ 10^2 \times 10^3 = 10^{2+3} = 10^5 = 100000 \]

Propiedad del Cociente

Para cualquier número real \( a \) y enteros positivos \( m \) y \( n \), donde \( a \neq 0 \), se cumple que:

\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]

Ejemplos:

  • Para \( a = 3 \), \( m = 4 \) y \( n = 2 \):

    • \[ \frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2 = 9 \]

  • Para \( a = 7 \), \( m = 5 \) y \( n = 3 \):

    • \[ \frac{7^5}{7^3} = 7^{5-3} = 7^2 = 49 \]

  • Para \( a = 2 \), \( m = 6 \) y \( n = 4 \):

    • \[ \frac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4 \]

Propiedad de la Potencia de una Potencia

Para cualquier número real \( a \) y enteros positivos \( m \) y \( n \), se cumple que:

\[(a^m)^n = a^{m \times n}\]

Ejemplos:

  • Para \( a = 2 \), \( m = 3 \) y \( n = 2 \):

    • \[ (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 \]

  • Para \( a = 5 \), \( m = 2 \) y \( n = 4 \):

    • \[ (5^2)^4 = 5^{2 \times 4} = 5^8 = 390625 \]

  • Para \( a = 3 \), \( m = 1 \) y \( n = 5 \):

    • \[ (3^1)^5 = 3^{1 \times 5} = 3^5 = 243 \]

Propiedad de la Potencia del Producto

Para cualquier número real \( a \) y \( b \), y entero positivo \( n \), se cumple que:

\[(a \times b)^n = a^n \times b^n\]

Ejemplos:

  • Para \( a = 2 \), \( b = 3 \) y \( n = 2 \):

    • \[ (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \]

  • Para \( a = 4 \), \( b = 5 \) y \( n = 3 \):

    • \[ (4 \times 5)^3 = 4^3 \times 5^3 = 64 \times 125 = 8000 \]

  • Para \( a = 1.5 \), \( b = 2 \) y \( n = 4 \):

    • \[ (1.5 \times 2)^4 = 1.5^4 \times 2^4 = 5.0625 \times 16 = 81 \]

Propiedad de la Potencia del Cociente

Para cualquier número real \( a \) y \( b \), donde \( b \neq 0 \), y entero positivo \( n \), se cumple que:

\[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\]

Ejemplos:

  • Para \( a = 4 \), \( b = 2 \) y \( n = 3 \):

    • \[ \left(\frac{4}{2}\right)^3 = \frac{4^3}{2^3} = \frac{64}{8} = 8 \]

  • Para \( a = 6 \), \( b = 3 \) y \( n = 2 \):

    • \[ \left(\frac{6}{3}\right)^2 = \frac{6^2}{3^2} = \frac{36}{9} = 4 \]

  • Para \( a = 9 \), \( b = 3 \) y \( n = 4 \):

    • \[ \left(\frac{9}{3}\right)^4 = \frac{9^4}{3^4} = \frac{6561}{81} = 81 \]


Ejercicios con Combinación de Propiedades

Ejercicio 1

Problema: Simplifica la expresión \((2^3 \times 5^2) \div (2^2 \times 5)\).

Solución:

  1. Aplicar la Propiedad del Cociente:

    2. \[ \frac{2^3 \times 5^2}{2^2 \times 5} = \frac{2^3}{2^2} \times \frac{5^2}{5} = 2^{3-2} \times 5^{2-1} = 2^1 \times 5^1 = 2 \times 5 = 10 \]

Ejercicio 2

Problema: Simplifica la expresión \((3^2)^4\).

Solución:

  1. Aplicar la Propiedad de la Potencia de una Potencia:

    2. \[ (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561 \]

Ejercicio 3

Problema: Simplifica la expresión \(\frac{(2^3 \times 3^2)}{(2 \times 3^3)}\).

Solución:

  1. Aplicar la Propiedad del Cociente:

    2. \[ \frac{2^3 \times 3^2}{2 \times 3^3} = \frac{2^3}{2^1} \times \frac{3^2}{3^3} = 2^{3-1} \times 3^{2-3} = 2^2 \times 3^{-1} = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]

Ejercicio 4

Problema: Simplifica la expresión \(\left(\frac{5}{2}\right)^{-3}\).

Solución:

  1. Aplicar la Propiedad del Exponente Negativo:

    2. \[ \left(\frac{5}{2}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{5}{2}\right)^3} \]

  2. Calcular la Potencia del Cociente:

    3. \[ \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8} \]

  3. Invertir el Resultado:

    4. \[ \frac{1}{\frac{125}{8}} = \frac{8}{125} \]

Ejercicio 5

Problema: Simplifica la expresión \(\frac{(2^4 \times 3^2)}{(2^2 \times 3^{-1})} \times (6^2)\).

Solución:

  1. Aplicar la Propiedad del Cociente:

    2. \[ \frac{2^4 \times 3^2}{2^2 \times 3^{-1}} = \frac{2^4}{2^2} \times \frac{3^2}{3^{-1}} = 2^{4-2} \times 3^{2-(-1)} = 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108 \]

  2. Aplicar la Propiedad del Producto:

    3. \[ 108 \times 6^2 = 108 \times 36 = 3888 \]


Ejercicios resueltos ER.1.3

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