Números Primos, Divisibilidad, MCD y MCM

Sección A: Números Primos

Un número primo es un número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores positivos: 1 y él mismo. En otras palabras, un número primo no puede ser formado multiplicando otros números enteros.

Ejemplos de Números Primos:

• 2 (el único número primo par)
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17
• 19
• 23

Propiedades de los Números Primos:

1. El número 1 no es primo.
2. Todos los números primos son impares, excepto el 2.
3. Los números primos son la base de la factorización de números enteros.

Sección B: Definición de Divisibilidad

Se dice que el número entero a divide a un entero b si existe un entero c tal que a · c = b. Esto se expresa como a | b.

Ejemplos:

1. 2 | 6 porque 2 · 3 = 6.
2. 5 | 25 porque 5 · 5 = 25.
3. 3 | 12 porque 3 · 4 = 12.

Sección C: Definición y Cálculo del Máximo Común Divisor (MCD)

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros es el número entero más grande que divide exactamente a cada uno de esos números.

Propiedades del MCD:

1. No puede ser mayor que los números originales.
2. El MCD de cualquier número y 0 es el número mismo.
3. El MCD de dos números primos distintos es 1.

Cálculo del MCD

El MCD se puede calcular como el producto de los factores comunes, cada uno elevado a su menor exponente.

Ejemplos:

Ejemplo 1: 20, 30, 40

Divisores:
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Divisores comunes: 1, 2, 5, 10
MCD: \[ \text{MCD} = 2^1 \cdot 5^1 = 10 \]

Ejemplo 2: 100, 150, 200

Divisores:
Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Divisores de 150: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 50, 75, 150
Divisores de 200: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

Divisores comunes: 1, 2, 5, 10, 50
MCD: \[ \text{MCD} = 2^1 \cdot 5^2 = 50 \]

Ejemplo 3: 50, 75, 100

Divisores:
Divisores de 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50
Divisores de 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75
Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Divisores comunes: 1, 5, 25
MCD: \[ \text{MCD} = 5^2 = 25 \]

Sección D: Definición y Cálculo del Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números enteros es el menor número entero positivo que es múltiplo de cada uno de esos números.

Propiedades del MCM:

1. No puede ser menor que el mayor de los números.
2. El MCM de cualquier número y 0 es 0.
3. El MCM de dos números primos distintos es el producto de esos números.

Cálculo del MCM

El MCM se puede calcular como el producto de los factores comunes y no comunes, cada uno elevado a su mayor exponente.

Ejemplos:

Ejemplo 1: 20, 30, 40

Múltiplos de cada número:
Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, ...
Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, ...

Múltiplos comunes: 120, 240, ...
MCM: \[ \text{MCM} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 120 \]

Ejemplo 2: 100, 150, 200

Múltiplos de cada número:
Múltiplos de 100: 100, 200, 300, 400, ...
Múltiplos de 150: 150, 300, 450, ...
Múltiplos de 200: 200, 400, 600, ...

Múltiplos comunes: 300, 600, ...
MCM: \[ \text{MCM} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 600 \]

Ejemplo 3: 50, 75, 100

Múltiplos de cada número:
Múltiplos de 50: 50, 100, 150, 200, ...
Múltiplos de 75: 75, 150, 225, ...
Múltiplos de 100: 100, 200, 300, ...

Múltiplos comunes: 300, 600, ...
MCM: \[ \text{MCM} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 300 \]