Tema 1.1: Física. Potencias de 10, raíces cuadradas y ecuaciones de segundo grado.

Potencias de 10, Raíces Cuadradas y Ecuaciones de Segundo Grado VOLVER A TEMARIO SIGUIENTE TEMA

Potencias de 10, raíces cuadradas y ecuaciones de segundo grado

Potencias de 10

Las potencias de 10 son una forma especial de potenciación en la que la base es 10. Se denotan como \( 10^n \), donde \( n \) es el exponente.

Exponente Positivo: Cuando el exponente es positivo, \( 10^n \) representa un número con \( n \) ceros a la derecha del 1. Por ejemplo:

  • \[ 10^2 = 100 \]
  • \[ 10^4 = 10000 \]

Exponente Negativo: Cuando el exponente es negativo, \( 10^{-n} \) representa un número con \( n \) ceros a la izquierda del 1. Por ejemplo:

  • \[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 \]
  • \[ 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0.001 \]

Multiplicación por una Potencia de 10: Multiplicar un número por una potencia de 10 es equivalente a desplazar el punto decimal del número hacia la derecha (para exponentes positivos) o hacia la izquierda (para exponentes negativos). Por ejemplo:

  • Multiplicación: \[ 5 \cdot 10^3 = 5 \cdot 1000 = 5000 \]
  • Multiplicación: \[ 0.75 \cdot 10^2 = 0.75 \cdot 100 = 75 \]
  • Multiplicación: \[ 150 \cdot 10^{-2} = 150 \cdot 0.01 = 1.5 \]

Representación Decimal: Un número entero o decimal puede expresarse como una suma de combinaciones lineales de potencias de 10. Por ejemplo:

  • El número 4327 se puede expresar como \[ 4 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 \]
  • El número 5.67 se puede expresar como \[ 5 \cdot 10^0 + 6 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2} \]

Raíces Cuadradas

La raíz cuadrada de un número \( a \) es un número que al elevarse al cuadrado (es decir, multiplicarse por sí mismo) da como resultado \( a \). Se denota como \( \sqrt{a} \). Un número tiene dos raíces cuadradas: una positiva y una negativa. La raíz cuadrada positiva se llama raíz cuadrada principal.

Ejemplo: Para el número 25, la raíz cuadrada positiva es \[ \sqrt{25} = 5 \] y la raíz cuadrada negativa es \[ -\sqrt{25} = -5 \]

Nota: La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Se considera en el conjunto de los números complejos.

  • Ejemplo: \[ \sqrt{9} = 3 \text{ y } -\sqrt{9} = -3 \]
  • Ejemplo: \[ \sqrt{0.25} = 0.5 \text{ y } -\sqrt{0.25} = -0.5 \]

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado tiene la forma general:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Para resolverla, utilizamos la fórmula cuadrática:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Donde \( a \), \( b \), y \( c \) son coeficientes de la ecuación.

  • Ejemplo 1: Para la ecuación \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \), tenemos los coeficientes \( a = 2 \), \( b = -4 \), y \( c = -6 \). Aplicamos la fórmula cuadrática:

    • \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4} \]

    Las soluciones son \( x = 3 \) y \( x = -1 \).

  • Ejemplo 2: Para la ecuación \( 0.5x^2 + 2.5x - 1.5 = 0 \), tenemos los coeficientes \( a = 0.5 \), \( b = 2.5 \), y \( c = -1.5 \). Aplicamos la fórmula cuadrática:

    • \[ x = \frac{-2.5 \pm \sqrt{2.5^2 - 4 \cdot 0.5 \cdot (-1.5)}}{2 \cdot 0.5} = \frac{-2.5 \pm \sqrt{6.25 + 3}}{1} = \frac{-2.5 \pm \sqrt{9.25}}{1} = \frac{-2.5 \pm 3.041}{1} \]

    Las soluciones son aproximadamente \( x = 0.541 \) y \( x = -5.541 \).

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