Tema 1.2: Física. Ecuaciones matemáticas y físicas. Despejes.

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ECUACIONES MATEMÁTICAS Y FÍSICAS. DESPEJES.

Manipulación de Ecuaciones

Para despejar un valor en una ecuación, se debe observar la operación que realiza dicho valor en la ecuación, y pasarlo a hacer la operación inversa al otro miembro. Aquí se explican las transformaciones básicas:

1. Suma y Resta: Si un valor está sumando en un miembro de la ecuación, debes restarlo en el otro miembro. Si está restando, debes pasarlo sumando.

Ejemplo: Para despejar \( x \) en la ecuación \( x + 5 = 12 \), debes pasar el 5 a restar en el otro miembro:

\[ x = 12 - 5 \]

\[ x = 7 \]

Ejemplo: Para despejar \( x \) en la ecuación \( 12 = x - 7 \), debes pasar sumando el 7 al otro miembro:

\[ 12 + 7 = x \]

\[ x = 19 \]

2. Multiplicación y División: Si un valor está multiplicando en un miembro de la ecuación, debes dividir por ese valor en el otro miembro. Si está dividiendo, debes multiplicar por ese valor en el otro miembro:

Ejemplo: Para despejar \( x \) en la ecuación \( 3x = 12 \), debes dividir por 3 en el otro miembro:

\[ x = \frac{12}{3} \]

\[ x = 4 \]

Ejemplo: Para despejar \( x \) en la ecuación \( \frac{12}{x} = 4 \), debes pasar multiplicando la \( x \) al otro miembro:

\[ 12 = 4x \]

Ahora, pasa el 4 a dividir al otro miembro:

\[ x = \frac{12}{4} \]

\[ x = 3 \]

3. Exponentes y Raíces: Si un valor está en un exponente, se convierte en el índice de una raíz. Si está en el índice de una raíz, se convierte en un exponente. Cuando el antiguo exponente sea un número par, considera el doble signo:

Ejemplo: Para despejar \( x \) en la ecuación \( x^2 = 16 \), toma la raíz cuadrada en el otro miembro:

\[ x = \pm \sqrt{16} \]

\[ x = \pm 4 \]

Ejemplo: Para despejar \( x \) en la ecuación \( \sqrt[3]{x} = 4 \), debes elevar todo lo que está en el otro miembro al cubo:

\[ x = 4^3 \]

\[ x = 64 \]

4. Logaritmos y Exponenciales: Si una incógnita está dentro de un logaritmo, debes considerar las exponenciales. Si la incógnita se encuentra en un exponente, debes considerar los logaritmos:

Ejemplo: Para despejar \( x \) en la ecuación \( \log(x) = 2 \), usa la función inversa del logaritmo (exponencial):

\[ x = 10^2 \]

\[ x = 100 \]

Observa que la base del logaritmo es 10, por lo que esa base será elevada al logaritmo.

Ejemplo: Para despejar \( x \) en la ecuación \( 2^x = 16 \), toma el logaritmo en base 2 de ambos lados:

\[ \log_2(2^x) = \log_2(16) \]

\[ x = \log_2(16) \]

\[ x = 4 \]

Ecuaciones Matemáticas y Físicas

En física, las ecuaciones son fundamentales para expresar las leyes de la naturaleza y resolver problemas. A continuación, veremos algunas de las ecuaciones más importantes y cómo realizar despejes.

Ecuaciones Clásicas

1. Ley de Ohm

La ley de Ohm relaciona la tensión, la corriente y la resistencia en un circuito eléctrico:

\( V = I \cdot R \)

donde \( V \) es la tensión en voltios, \( I \) es la corriente en amperios y \( R \) es la resistencia en ohmios.

2. Ecuación de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

La ecuación que describe la posición de un objeto en MRUA es:

\( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \)

donde \( s \) es la distancia recorrida, \( v_0 \) es la velocidad inicial, \( t \) es el tiempo y \( a \) es la aceleración.

3. Ecuación de la Energía Cinética

La energía cinética de un objeto es:

\( E_c = \frac{1}{2} m v^2 \)

donde \( E_c \) es la energía cinética, \( m \) es la masa del objeto y \( v \) es su velocidad.

Despejes de Ecuaciones

Despejar una ecuación significa reorganizarla para resolver una de las variables en términos de las otras. A continuación, se presentan algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Despejar \( R \) en la Ley de Ohm:

Dada la ecuación \( V = I \cdot R \), para despejar \( R \) observemos primero que \( I \) está multiplicándola, por lo que tenemos que pasarla dividiendo al otro lado:

\[ R = \frac{V}{I} \]

Ejemplo 2: Despejar \( t \) en la ecuación de MRUA:

Dada la ecuación \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), despejar \( t \).

Para despejar \( t \), observamos que es una ecuación de segundo grado en \( t \). Reescribiendo la ecuación, tenemos \( \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t - s = 0 \). Comparando con la ecuación general de segundo grado en una incógnita \( a x^2 + b x + c = 0 \), tenemos \( a = \frac{1}{2} a \), \( b = v_0 \), \( c = -s \):

\[ \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t - s = 0 \implies t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a} \]

Ejemplo 3: Despejar \( v \) en la ecuación de energía cinética:

Dada la ecuación \( E_c = \frac{1}{2} m v^2 \), para despejar \( v \) debemos observar que \( m \) está multiplicando a \( v^2 \) y 2 está dividiendo. Pasamos \( m \) a dividir y 2 a multiplicar al otro miembro:

\[ v^2 = \frac{2 E_c}{m} \]

Ahora tomamos la raíz cuadrada:

\[ v = \pm \sqrt{\frac{2 E_c}{m}} \]

Ejercicios resueltos ER.1.2

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