Tema 0.1: Números naturales, operaciones y propiedades.
VG.1.1.1. VG.1.1.2.
Números Naturales
¿Qué son los Números Naturales?
Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar objetos y ordenar. Los números naturales son el conjunto de números enteros positivos a partir de 1. En matemáticas, los números naturales se denotan generalmente por el símbolo \(\mathbb{N}\).
El conjunto de los números naturales es: \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}\).
Símbolos Matemáticos
El símbolo del conjunto de los números naturales es \(\mathbb{N}\). Para denotar que un número pertenece al conjunto de los números naturales, se usa el símbolo de pertenencia \(\in\). Por ejemplo:
\[ 2 \in \mathbb{N} \]
Esto indica que el número 2 pertenece al conjunto de los números naturales. Del mismo modo:
\[ 3 \in \mathbb{N} \]
y
\[ 5 \in \mathbb{N} \]
Propiedades de la Adición y Multiplicación
Los números naturales tienen ciertas propiedades en las operaciones de adición y multiplicación, que son fundamentales en la aritmética.
Adición
Las propiedades de la adición de números naturales incluyen:
- Clausura: La adición de dos números naturales siempre da como resultado otro número natural.
- Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no afecta la suma.
- Propiedad Asociativa: La forma en que agrupamos los sumandos no afecta la suma.
Ejemplos de Adición:
Clausura
\[ 3 + 4 = 7 \text{ y } 7 \in \mathbb{N} \]
\[ 8 + 5 = 13 \text{ y } 13 \in \mathbb{N} \]
\[ 10 + 20 = 30 \text{ y } 30 \in \mathbb{N} \]
Propiedad Conmutativa
\[ 2 + 5 = 5 + 2 = 7 \]
\[ 7 + 3 = 3 + 7 = 10 \]
\[ 4 + 9 = 9 + 4 = 13 \]
Propiedad Asociativa
\[ (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 \]
\[ (4 + 5) + 6 = 4 + (5 + 6) = 15 \]
\[ (7 + 8) + 9 = 7 + (8 + 9) = 24 \]
Multiplicación
Las propiedades de la multiplicación de números naturales incluyen:
- Clausura: La multiplicación de dos números naturales siempre da como resultado otro número natural.
- Propiedad Conmutativa: El orden de los factores no afecta el producto.
- Propiedad Asociativa: La forma en que agrupamos los factores no afecta el producto.
Ejemplos de Multiplicación:
Clausura
\[ 3 \cdot 4 = 12 \text{ y } 12 \in \mathbb{N} \]
\[ 7 \cdot 5 = 35 \text{ y } 35 \in \mathbb{N} \]
\[ 6 \cdot 9 = 54 \text{ y } 54 \in \mathbb{N} \]
Propiedad Conmutativa
\[ 2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 = 6 \]
\[ 5 \cdot 4 = 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ 7 \cdot 8 = 8 \cdot 7 = 56 \]
Propiedad Asociativa
\[ (2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 24 \]
\[ (5 \cdot 6) \cdot 2 = 5 \cdot (6 \cdot 2) = 60 \]
\[ (7 \cdot 8) \cdot 3 = 7 \cdot (8 \cdot 3) = 168 \]
Propiedad Distributiva
La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición establece que:
\[ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \]
Es decir, multiplicar un número por una suma es equivalente a multiplicar ese número por cada sumando y luego sumar los resultados.
Ejemplos de la Propiedad Distributiva:
1. \[ 3 \cdot (4 + 5) = (3 \cdot 4) + (3 \cdot 5) = 12 + 15 = 27 \]
2. \[ 5 \cdot (7 + 2) = (5 \cdot 7) + (5 \cdot 2) = 35 + 10 = 45 \]
3. \[ 8 \cdot (4 + 6) = (8 \cdot 4) + (8 \cdot 6) = 32 + 48 = 80 \]
Gráfica de la Recta Numérica
Para graficar la recta numérica trazamos un punto a la izquierda de la hoja y aquí vamos a ubicar el número cero. Desde ese punto, trazamos una semirrecta hacia la derecha con una flecha al final para indicar la dirección de los números. Escogemos una unidad (la que quieras, como un centímetro o un centímetro y medio) y vamos a colocar otro punto sobre la recta; ahí ubicaremos el número uno. La distancia que hay desde cero al uno la vamos a replicar hacia la derecha del uno y vamos a ir trazando puntos. A partir del siguiente punto, tomamos la misma distancia y trazamos otro punto hacia la derecha y así sucesivamente, ubicando los números 2, 3, 4, hasta donde sea necesario.
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