Tema 0.2: Número enteros. Operaciones y propiedades.

VOLVER AL TEMARIO

TEMA 1: Números naturales, operaciones y propiedades.

VG.1.1.1. VG.1.1.2.

Números Enteros

Los números enteros se representan con el símbolo Z. Este conjunto incluye todos los números naturales, sus opuestos negativos, y el cero. Los números enteros se utilizan para representar valores que pueden ser positivos o negativos, como en situaciones que requieren una representación completa de magnitudes en una escala numérica que incluye valores negativos, como en la temperatura, la deuda, o los resultados de ciertas operaciones matemáticas.

Para denotar que ciertos números pertenecen al conjunto de los números enteros, usamos el símbolo de pertenencia ∈. Por ejemplo:

• -2 ∈ Z
• -1 ∈ Z
• 0 ∈ Z
• 1 ∈ Z
• 2 ∈ Z

Los números enteros positivos son, de hecho, los números naturales. Por lo tanto, el conjunto de los números naturales N es un subconjunto del conjunto de los números enteros Z. Esto se denota matemáticamente como:

N ⊆ Z

Recta Numérica de los Números Enteros

Para hacer la gráfica de los números enteros, dibuja una línea horizontal y marca el punto cero en el centro. Luego, añade marcas equidistantes a la derecha del cero para los números enteros positivos (1, 2, 3, etc.) y a la izquierda para los números enteros negativos (-1, -2, -3, etc.), manteniendo las distancias uniformes.

1. Propiedad de Clausura

La propiedad de clausura establece que la adición y la multiplicación de dos números enteros siempre da como resultado otro número entero.

Adición:

1. -3 + 7 = 4 ∈ Z

2. -10 + (-5) = -15 ∈ Z

3. 0 + 6 = 6 ∈ Z

Multiplicación:

1. (-4) · 3 = -12 ∈ Z

2. 7 · (-2) = -14 ∈ Z

3. 0 · (-5) = 0 ∈ Z

2. Propiedad Conmutativa

La propiedad conmutativa establece que el orden de los números no afecta el resultado de la adición o la multiplicación.

Adición:

1. -5 + 9 = 9 + (-5) = 4

2. 12 + (-8) = -8 + 12 = 4

3. -7 + (-3) = (-3) + (-7) = -10

Multiplicación:

1. (-3) · 4 = 4 · (-3) = -12

2. 5 · (-2) = (-2) · 5 = -10

3. 0 · 7 = 7 · 0 = 0

3. Propiedad Asociativa

La propiedad asociativa establece que la forma en que agrupamos los números no afecta el resultado de la adición o la multiplicación.

Adición:

1. (-2 + 4) + 6 = -2 + (4 + 6) = 8

2. 0 + (-3 + 5) = (-3 + 5) + 0 = 2

3. (-1 + 7) + (-2) = -1 + (7 + (-2)) = 4

Multiplicación:

1. (-2) · 3 · 4 = -2 · (3 · 4) = -24

2. 5 · (6 · (-2)) = (5 · 6) · (-2) = -60

3. 0 · (-1) · 8 = (0 · (-1)) · 8 = 0

4. Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición establece que multiplicar un número por una suma es lo mismo que multiplicar ese número por cada término de la suma y luego sumar los resultados.

Adición:

1. 3 · (4 + 5) = (3 · 4) + (3 · 5) = 27

2. (-2) · (7 + (-3)) = (-2 · 7) + (-2 · (-3)) = -8

3. 0 · (6 + 9) = (0 · 6) + (0 · 9) = 0

5. Elemento Neutro

El elemento neutro de la adición es 0, ya que sumar 0 a cualquier número no cambia el valor del número. El elemento neutro de la multiplicación es 1, ya que multiplicar cualquier número por 1 no cambia el valor del número.

Adición:

1. -7 + 0 = -7

2. 15 + 0 = 15

3. 0 + (-12) = -12

Multiplicación:

1. 4 · 1 = 4

2. -9 · 1 = -9

3. 0 · 1 = 0

6. Opuesto Aditivo

El opuesto aditivo de un número entero a es -a, y la suma de un número y su opuesto aditivo es 0.

1. -5 + 5 = 0

2. 8 + (-8) = 0

3. -3 + 3 = 0

7. Ley de los Signos de la Adición

La ley de los signos para la adición de números enteros establece cómo determinar el signo del resultado cuando se suman números enteros con el mismo o diferente signo:

Si ambos números tienen el mismo signo:

1. La suma de dos números enteros positivos es positiva:

5 + 3 = 8

2. La suma de dos números enteros negativos es negativa:

-4 + (-6) = -10

Si los números tienen signos diferentes:

1. Se resta el valor absoluto del número menor del valor absoluto del número mayor y se coloca el signo del número con el mayor valor absoluto:

7 + (-4) = 3

-9 + 5 = -4

8. Ley de los Signos de la Multiplicación

La ley de los signos para la multiplicación de números enteros establece cómo determinar el signo del resultado cuando se multiplican números enteros:

Si ambos números tienen el mismo signo:

1. La multiplicación de dos números enteros positivos es positiva:

4 · 5 = 20

2. La multiplicación de dos números enteros negativos es positiva:

-3 · (-6) = 18

Si los números tienen signos diferentes:

1. La multiplicación de un número entero positivo por uno negativo es negativa:

7 · (-2) = -14

2. La multiplicación de un número entero negativo por uno positivo es negativa:

-8 · 3 = -24

EJERCICIOS RESUELTOS ER.0.2.1.

Para hacer ele ejercicio, haz clic en el siguiente botón: EJERCICIO

EJERCICIOS PROPUESTOS EP.0.2.1.

Para seguir entrenando en el tema, descaga el siguiente PDF: DESCARGAR PDF