Dodecaedro rómbico

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Capítulo 1

Sección 1

Definición 1.1 — Dodecaedro rómbico (RD)

Sea \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1,\quad |x| + |z| \le 1,\quad |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

A este sólido le llamaremos dodecaedro rómbico.


1.1 Convexidad y compacidad

Proposición 1.1.1:

El dodecaedro rómbico definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1,\ |x| + |z| \le 1,\ |y| + |z| \le 1 \right\} \] es convexo y compacto en \(\mathbb{R}^3\).

Demostración:

Parte A: Convexidad

1. Consideremos la desigualdad \[ |x| + |y| \le 1. \] Esto se puede reescribir como la intersección de cuatro semiespacios lineales: \[ x+y \le 1,\quad x-y \le 1,\quad -x+y \le 1,\quad -x-y \le 1. \]

2. Cada semiespacio lineal definido por \[ ax + by + cz \le d \] es convexo, ya que para cualesquiera dos puntos \(p, q\) en el semiespacio, la combinación convexa \[ \lambda p + (1-\lambda) q, \quad 0 \le \lambda \le 1 \] también satisface la desigualdad.


En efecto:

Paso 1: Definición de puntos en el semiespacio

Sea \(p = (x_p, y_p, z_p) \in H\), \(q = (x_q, y_q, z_q) \in H\).

Por definición de \(H\): \[ a x_p + b y_p + c z_p \le d, \quad a x_q + b y_q + c z_q \le d. \]


Paso 2: Combinación convexa

Tomemos cualquier \(\lambda \in [0,1]\) y definamos: \[ r := \lambda p + (1-\lambda) q = (\lambda x_p + (1-\lambda)x_q, \ \lambda y_p + (1-\lambda)y_q, \ \lambda z_p + (1-\lambda) z_q). \]
Queremos demostrar que \(r \in H\), es decir: \[ a (\lambda x_p + (1-\lambda)x_q) + b (\lambda y_p + (1-\lambda)y_q) + c (\lambda z_p + (1-\lambda) z_q) \le d. \]


Paso 3: Expansión de la desigualdad
\[ \begin{aligned} a (\lambda x_p + (1-\lambda)x_q) &+ b (\lambda y_p + (1-\lambda)y_q) + c (\lambda z_p + (1-\lambda) z_q) \\ &= \lambda (a x_p + b y_p + c z_p) + (1-\lambda)(a x_q + b y_q + c z_q). \end{aligned} \]
Observación: Esto se debe a la linealidad de la combinación.


Paso 4: Aplicación de las desigualdades de \(p\) y \(q\)

Como \(p, q \in H\), tenemos: \[ a x_p + b y_p + c z_p \le d, \quad a x_q + b y_q + c z_q \le d. \] Multiplicando por \(\lambda \ge 0\) y \(1-\lambda \ge 0\) (ambos en [0,1]): \[ \lambda(a x_p + b y_p + c z_p) \le \lambda d, \quad (1-\lambda)(a x_q + b y_q + c z_q) \le (1-\lambda)d. \]


Paso 5: Suma de las desigualdades
\[ \lambda(a x_p + b y_p + c z_p) + (1-\lambda)(a x_q + b y_q + c z_q) \le \lambda d + (1-\lambda)d = d. \]


Paso 6: Conclusión

Por lo tanto: \[ a (\lambda x_p + (1-\lambda)x_q) + b (\lambda y_p + (1-\lambda)y_q) + c (\lambda z_p + (1-\lambda) z_q) \le d. \]
Esto muestra que la combinación convexa \(r\) también pertenece al semiespacio \(H\). ∎


3. La intersección de conjuntos convexos es convexa. Por lo tanto, \[ |x| + |y| \le 1 \] define un conjunto convexo.


4. Análogamente, \[ |x| + |z| \le 1 \quad\text{y}\quad |y| + |z| \le 1 \] son convexos.


5. Finalmente, \(\mathrm{RD}\) es la intersección de estos tres conjuntos convexos, por lo que \(\mathrm{RD}\) es convexo.


Parte B — Compacidad

1. Observemos que \[ |x| + |y| \le 1 \] implica que \(|x| \le 1\) y \(|y| \le 1\). De forma análoga, \[ |x| + |z| \le 1 \quad\text{y}\quad |y| + |z| \le 1 \] implican \(|x|, |y|, |z| \le 1\). Por lo tanto, \(\mathrm{RD}\) está acotado.


2. Las desigualdades son cerradas (\(\le\)), por lo que \(\mathrm{RD}\) contiene todos sus puntos límite, es decir, \(\mathrm{RD}\) es cerrado.


3. Un conjunto cerrado y acotado en \(\mathbb{R}^3\) es compacto por el teorema de Heine-Borel.


Conclusión:

\(\mathrm{RD}\) es convexo y compacto, como se quería demostrar. ∎


Definición 1.2: Caras de RD

Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1,\ |x| + |z| \le 1,\ |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

Cada cara de \(\mathrm{RD}\) se define como la intersección de \(\mathrm{RD}\) con un plano activo, donde un plano activo es una de las igualdades derivadas de las desigualdades que definen \(\mathrm{RD}\): \[ x \pm y = 1, \quad x \pm z = 1, \quad y \pm z = 1. \]

• Denotemos el conjunto de caras como \(F(\mathrm{RD})\).
• Cada cara es un rombo plano.


Proposición 2.1: Todas las caras son rombos congruentes

Cada cara de \(\mathrm{RD}\) es un rombo, y todas las caras son congruentes entre sí.

Demostración:

Parte A: Cada cara es un rombo

1. Consideremos un plano activo, por ejemplo \[ x + y = 1. \]


2. El plano intersecta \(\mathrm{RD}\), lo que significa que también se deben cumplir las otras desigualdades: \[ |x| + |z| \le 1, \quad |y| + |z| \le 1. \]


3. Sustituyendo \(y = 1 - x\) en las desigualdades: \[ |x| + |z| \le 1 \implies |z| \le 1 - |x|, \quad |1 - x| + |z| \le 1 \implies |z| \le 1 - |1-x|. \]


4. Combinando estas restricciones, se obtiene un cuadrilátero plano cuyos lados son segmentos lineales:

  • Dos lados con pendiente \(+1\) en el plano \(x+y=1\)
  • Dos lados con pendiente \(-1\) en el mismo plano


5. Como los cuatro lados son congruentes (misma longitud), el cuadrilátero es un rombo.


Parte B: Congruencia entre caras

1. Cada desigualdad activa tiene la misma estructura lineal. Por ejemplo, \(x+y=1\) y \(x-y=1\) generan rombos idénticos, solo rotados o reflejados en los ejes coordenados.

2. Todos los planos activos provienen de las mismas desigualdades, permutando signos o coordenadas.

3. Por simetría de la definición de \(\mathrm{RD}\) (permutación de coordenadas y cambio de signo), cada rombo tiene la misma forma y tamaño → congruencia.


Corolario 2.1: Número de caras

Afirmación: \[ |F(\mathrm{RD})| = 12. \]

Demostración:

  • Para cada par de coordenadas \((x,y), (x,z), (y,z)\) hay 4 combinaciones de signos → 4 planos activos por par.
  • Número total de caras = 3 pares × 4 = 12.∎


3. Existencia de vértices

Definición 3.1 — Vértices de RD

Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1, \ |x| + |z| \le 1, \ |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

Un vértice de \(\mathrm{RD}\) es un punto que es la intersección de tres caras adyacentes. Formalmente: \[ V(\mathrm{RD}) := \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x \pm y = \pm 1, \ x \pm z = \pm 1, \ y \pm z = \pm 1 \ \text{para combinaciones compatibles} \}. \]


Proposición 3.1: Número y tipo de vértices

Afirmación: \(\mathrm{RD}\) tiene 14 vértices, que se dividen en:

  • Vértices axiales: 6 vértices sobre los ejes coordenados \[ (\pm 1,0,0), \ (0,\pm 1,0), \ (0,0,\pm 1) \]
  • Vértices cúbicos: 8 vértices formando un cubo inscrito \[ \left(\pm \tfrac12, \pm \tfrac12, \pm \tfrac12\right) \] con combinaciones de signos tal que cada coordenada toma \(\pm \tfrac12\).

Demostración:

Parte A: Obtención de vértices axiales

1. Consideremos los planos activos de las desigualdades: \[ |x| + |y| \le 1 \implies x+y = \pm 1 \text{ o } x-y = \pm 1, \] \[ |x| + |z| \le 1 \implies x+z = \pm 1 \text{ o } x-z = \pm 1, \] \[ |y| + |z| \le 1 \implies y+z = \pm 1 \text{ o } y-z = \pm 1. \]

2. Tomemos combinaciones donde dos coordenadas son cero, por ejemplo \(x = \pm 1, y = 0, z = 0\). Esto satisface todas las desigualdades: \[ |x| + |y| = 1+0 \le 1 \quad \checkmark, \quad |x| + |z| = 1+0 \le 1 \quad \checkmark, \quad |y| + |z| = 0+0 \le 1 \quad \checkmark \]

3. De forma análoga, obtenemos todos los vértices axiales: \[ (\pm1,0,0), (0,\pm1,0), (0,0,\pm1). \] Número: 6 vértices.


Parte B: Obtención de vértices cúbicos

1. Consideremos combinaciones donde ninguna coordenada es cero.

2. Para que las desigualdades se cumplan: \[ |x| + |y| \le 1, \quad |x| + |z| \le 1, \quad |y| + |z| \le 1 \] con \(|x| = |y| = |z| = \tfrac12\), obtenemos: \[ \tfrac12 + \tfrac12 = 1 \le 1 \quad \checkmark \]

3. Todas las combinaciones de signos \[ \left(\pm \tfrac12, \pm \tfrac12, \pm \tfrac12\right) \] generan 8 vértices cúbicos que cumplen las tres desigualdades simultáneamente.


Parte C: Exhaustividad

• Todas las combinaciones de planos activos producen solo estas 14 soluciones.
• Por lo tanto, \[ |V(\mathrm{RD})| = 6 + 8 = 14. \]


Corolario 3.1: Tipos de vértices

• Vértices axiales: pertenecen a 4 caras
• Vértices cúbicos: pertenecen a 3 caras

Demostración: Cada vértice axial es la intersección de 4 planos activos, y cada vértice cúbico de 3 planos activos. ∎


✅ Conclusión del subpunto 3:

  • \(\mathrm{RD}\) tiene 14 vértices
  • Divididos en 6 axiales y 8 cúbicos
  • Cada vértice está bien definido por la intersección de tres o cuatro planos activos
  • Todo esto se deduce estrictamente de la definición formal, sin asumir nada externo


4. Intersección de caras y aristas

Definición 4.1: Aristas de RD

Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1,\ |x| + |z| \le 1,\ |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

Una arista de \(\mathrm{RD}\) es un segmento de recta que es la intersección de dos caras adyacentes. Formalmente, para dos planos activos \(P_1, P_2\): \[ e = \mathrm{RD} \cap P_1 \cap P_2 \] donde \(e\) contiene más de un punto. Denotamos el conjunto de aristas como \(E(\mathrm{RD})\).


Proposición 4.1: Todas las aristas son segmentos finitos bien definidos

Afirmación: Cada arista de \(\mathrm{RD}\) es un segmento lineal finito, intersección de exactamente dos caras adyacentes.

Demostración:

  • Cada cara de \(\mathrm{RD}\) es un rombo plano (subpunto 2).
  • Un rombo tiene 4 lados; cada lado es la intersección con otra cara adyacente.
  • Por convexidad de \(\mathrm{RD}\) (subpunto 1), la intersección de dos caras adyacentes no puede ser un punto aislado ni un conjunto no lineal, sino un segmento lineal finito.
  • Todas las aristas se obtienen así como segmentos de longitud positiva conectando dos vértices adyacentes (subpunto 3).
  • Cada arista pertenece exactamente a dos caras y conecta exactamente dos vértices, por definición de poliedro convexo.


Proposición 4.2: Número de aristas

\(\mathrm{RD}\) tiene 24 aristas.

Demostración:

  • Cada cara es un rombo (4 lados) → 12 caras × 4 lados = 48.
  • Cada arista pertenece a exactamente dos caras → contamos cada arista dos veces.
  • Número total de aristas: \[ |E(\mathrm{RD})| = \frac{12 \cdot 4}{2} = 24 \quad \checkmark \]


Corolario 4.1: Conexión vértice-arista

1. Cada vértice axial pertenece a 4 aristas (conecta 4 caras).
2. Cada vértice cúbico pertenece a 3 aristas (conecta 3 caras).
3. Por lo tanto, la estructura combinatoria de vértices y aristas está completamente determinada a partir de la definición formal.


Corolario 4.2: Conexión arista-cara

• Cada arista está contenida exactamente en 2 caras.
• Cada cara contiene exactamente 4 aristas.
• Esto concuerda con la definición de rombo como cara plana y la convexidad de \(\mathrm{RD}\). ∎


✅ Conclusión del subpunto 4:

  • Todas las aristas son segmentos finitos bien definidos
  • Cada arista es intersección de dos caras adyacentes
  • Cada arista conecta dos vértices
  • Número total de aristas: 24
  • Todo esto se deduce estrictamente de la definición formal, sin asumir nada adicional


5. Simetría inherente

Definición 5.1: Grupo de simetrías de RD

Sea \(\mathrm{RD}\) definido por \[ \mathrm{RD} := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;\bigg|\; |x| + |y| \le 1, \ |x| + |z| \le 1, \ |y| + |z| \le 1 \right\}. \]

El grupo de simetrías \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) está formado por todas las transformaciones lineales \(T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) tales que: \[ T(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}, \quad T \text{ es una isometría rígida (rotación o reflexión)}. \]


Proposición 5.1: Transformaciones de permutación de coordenadas

Toda permutación de coordenadas es una simetría de \(\mathrm{RD}\).

Demostración:

  • Sea \(T_{\sigma}:(x,y,z) \mapsto (\sigma(x), \sigma(y), \sigma(z))\) con \(\sigma\) una permutación de \(\{x,y,z\}\).
  • La definición de \(\mathrm{RD}\) es simétrica respecto a las tres coordenadas, ya que las desigualdades son: \[ |x|+|y|\le1, \quad |x|+|z|\le1, \quad |y|+|z|\le1 \]
  • Aplicando \(T_{\sigma}\), cada desigualdad se mantiene porque se intercambian coordenadas.
  • Por lo tanto, \(T_{\sigma}(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD} \). ∎


Proposición 5.2: Transformaciones de cambio de signo

Cambiar el signo de cualquier subconjunto de coordenadas produce otra simetría.

Demostración:

  • Sea \(S_{\epsilon}:(x,y,z) \mapsto (\epsilon_1 x, \epsilon_2 y, \epsilon_3 z)\) con \(\epsilon_i = \pm 1\).
  • Como las desigualdades involucran valores absolutos, \(|\epsilon_i x_i| = |x_i|\), todas las desigualdades se preservan.
  • Por lo tanto, \(S_{\epsilon}(\mathrm{RD}) = \mathrm{RD}. ∎\)


Corolario 5.1: Grupo de simetrías completo

1. Combinando permutaciones de coordenadas y cambios de signo, obtenemos \[ 3! \cdot 2^3 = 48 \] transformaciones.
2. Este conjunto forma un grupo finito, conocido como el grupo de simetría del dodecaedro rómbico, denotado \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\).

Corolario 5.2: Consecuencias combinatorias

• Todos los vértices cúbicos son equivalentes bajo \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\).
• Todos los vértices axiales son equivalentes entre sí.
• Todas las caras son congruentes (ya visto en el subpunto 2) y permutables mediante simetrías.
• Todas las aristas son equivalentes bajo alguna simetría.


✅ Conclusión del subpunto 5:

  • \(\mathrm{RD}\) posee simetría completa de permutaciones y cambios de signo
  • Todas las entidades combinatorias (vértices, aristas, caras) son equivalentes dentro de su clase
  • El grupo de simetrías finito \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) tiene 48 elementos y está completamente determinado por la definición formal
  • Esto será crucial para definir clases de equivalencia de vértices, aristas y caras, y más adelante para las condiciones de compatibilidad estructural del teselado


6. Preparación para combinatoria

Propósito
A partir de la definición formal de \(\mathrm{RD}\), queremos establecer la estructura combinatoria básica:

  • Vértices (\(V(\mathrm{RD})\))
  • Aristas (\(E(\mathrm{RD})\))
  • Caras (\(F(\mathrm{RD})\))
de forma totalmente determinada y simétrica, para poder deducir propiedades combinatorias, clases de equivalencia y compatibilidad en teselaciones.


Proposición 6.1: Enumeración de entidades combinatorias

Afirmación: El dodecaedro rómbico \(\mathrm{RD}\) tiene:

  • \(|V(\mathrm{RD})| = 14\) vértices
    • 8 vértices cúbicos
    • 6 vértices axiales
  • \(|E(\mathrm{RD})| = 24\) aristas
  • \(|F(\mathrm{RD})| = 12\) caras

Demostración:

  • Ya se demostró en subpuntos 2, 3 y 4:
    • Subpunto 2: \(|F|=12\) caras, todas rombos congruentes
    • Subpunto 3: \(|V|=14\) vértices (8 cúbicos, 6 axiales)
    • Subpunto 4: \(|E|=24\) aristas, cada arista conecta exactamente 2 vértices y pertenece a 2 caras
  • Todas estas cantidades son derivadas exclusivamente de la definición formal de \(\mathrm{RD}\), sin asumir nada externo. ∎


Proposición 6.2: Incidencia vértice-arista-cara

  • Cada vértice axial pertenece a 4 aristas y 4 caras
  • Cada vértice cúbico pertenece a 3 aristas y 3 caras
  • Cada arista pertenece a exactamente 2 vértices y 2 caras
  • Cada cara contiene exactamente 4 vértices y 4 aristas

Demostración:

  • Por definición de arista: intersección de 2 caras → conecta 2 vértices → cada arista pertenece a 2 caras.
  • Cada cara es un rombo → tiene 4 aristas y 4 vértices.
  • Cada vértice axial está en la intersección de 4 caras → 4 aristas
  • Cada vértice cúbico está en la intersección de 3 caras → 3 aristas
Todo esto se deduce estrictamente de la definición formal y las propiedades de las caras y aristas ya demostradas. ∎


Proposición 6.3: Equivalencia de entidades por simetría

Afirmación:

  • Todas las caras son congruentes y permutables bajo \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\)
  • Todos los vértices cúbicos son equivalentes entre sí
  • Todos los vértices axiales son equivalentes entre sí
  • Todas las aristas son equivalentes bajo alguna simetría

Demostración:

  • Del subpunto 5: grupo de simetrías finito \(\mathrm{Aut}(\mathrm{RD})\) con 48 elementos
  • Permutaciones de coordenadas y cambios de signo mapean cualquier cara en cualquier otra
  • Permutaciones que preservan tipo de vértice mapean todos los vértices cúbicos entre sí, y todos los vértices axiales entre sí
  • De la definición de arista como intersección de caras adyacentes y la simetría completa, todas las aristas son equivalentes ∎


Corolario 6.1 — Preparación para combinatoria

  • La estructura combinatoria de \(\mathrm{RD}\) está totalmente determinada: número y tipo de vértices, aristas y caras, y su incidencia mutua.
  • Esta información será la base para:
    1. Definir clases de equivalencia de vértices
    2. Analizar compatibilidad entre poliedros vecinos en un teselado
    3. Establecer condiciones de tensión y vector de tensión
    4. Formular leyes físicas emergentes en niveles posteriores


✅ Conclusión del subpunto 6:

  • Hemos completado la preparación combinatoria sin asumir nada externo, directamente a partir de la definición formal del dodecaedro rómbico.
  • Todo lo necesario para avanzar hacia propiedades combinatorias, teselación y din

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