Orden en los números reales

Números Reales

Clasificación de los Números Reales

Los números reales se dividen en tres tipos:

  1. Números Reales Positivos: Son aquellos números que son mayores que cero. Se denotan comúnmente como \( \mathbb{R}^+ \) y incluyen números como \( 1, 2.5, \sqrt{2}, \pi \), etc.
  2. Números Reales Negativos: Son aquellos números que son menores que cero. Se denotan como \( \mathbb{R}^- \) y incluyen números como \( -1, -2.5, -\sqrt{2} \), etc.
  3. Cero: El número \( 0 \) es un número real que se considera neutro, ya que no es ni positivo ni negativo. Se denota simplemente como \( 0 \).

Relación de Orden en los Números Reales

Definición de "Menor Que"

Decimos que un número real \( a \) es menor que otro número real \( b \) (se denota como \( a < b \)) si y solo si \( b - a \) es positivo. Esto se expresa formalmente como:

\[ a < b \quad \text{si y solo si} \quad b - a \text{ es positivo.} \]

Definición de "Mayor Que"

Decimos que un número real \( a \) es mayor que otro número real \( b \) (se denota como \( a > b \)) si y solo si \( b \) es menor que \( a \). Esto se expresa formalmente como:

\[ a > b \quad \text{si y solo si} \quad b < a. \]

Ejemplos de "Mayor Que"

  1. Ejemplo 1: Si \( a = 5 \) y \( b = 3 \), entonces \( a > b \) (5 > 3) porque \( b < a \) (3 < 5).
  2. Ejemplo 2: Si \( a = -1 \) y \( b = -3 \), entonces \( a > b \) (-1 > -3) porque \( b < a \) (-3 < -1).

Propiedades de la Relación de Orden

1. Antisimetría

  1. Ejemplo 1: Si \( a = 3 \) y \( b = 3 \), entonces \( a < b \) es falso, y \( b < a \) también es falso, por lo que \( a = b \).
  2. Ejemplo 2: Si \( a = -2 \) y \( b = -2 \), entonces \( a < b \) es falso, y \( b < a \) también es falso, así que \( a = b \).

2. Transitiva

  1. Ejemplo 1: Si \( a = 1 \), \( b = 2 \) y \( c = 3 \), entonces \( a < b \) y \( b < c \) implican que \( a < c \) (1 < 2 y 2 < 3, por lo tanto 1 < 3).
  2. Ejemplo 2: Si \( a = -3 \), \( b = -1 \) y \( c = 0 \), entonces \( a < b \) y \( b < c \) implican que \( a < c \) (-3 < -1 y -1 < 0, por lo tanto -3 < 0).

Definiciones de "Menor o Igual Que" y "Mayor o Igual Que"

Definición de "Menor o Igual Que"

Decimos que un número real \( a \) es menor o igual que otro número real \( b \) (se denota como \( a \leq b \)) si y solo si \( a \) es igual a \( b \) o \( a \) es menor que \( b \). Esto se expresa formalmente como:

\[ a \leq b \quad \text{si y solo si} \quad a = b \quad \text{o} \quad a < b. \]

Ejemplos de "Menor o Igual Que"

  1. Ejemplo 1: Si \( a = 4 \) y \( b = 5 \), entonces \( a \leq b \) (4 ≤ 5) porque \( a < b \).
  2. Ejemplo 2: Si \( a = 3 \) y \( b = 3 \), entonces \( a \leq b \) (3 ≤ 3) porque \( a = b \).

Definición de "Mayor o Igual Que"

Decimos que un número real \( a \) es mayor o igual que otro número real \( b \) (se denota como \( a \geq b \)) si y solo si \( a \) es igual a \( b \) o \( a \) es mayor que \( b \). Esto se expresa formalmente como:

\[ a \geq b \quad \text{si y solo si} \quad a = b \quad \text{o} \quad a > b. \]

Ejemplos de "Mayor o Igual Que"

  1. Ejemplo 1: Si \( a = 7 \) y \( b = 5 \), entonces \( a \geq b \) (7 ≥ 5) porque \( a > b \).
  2. Ejemplo 2: Si \( a = 6 \) y \( b = 6 \), entonces \( a \geq b \) (6 ≥ 6) porque \( a = b \).

Leyes de Cancelación

1. Menor que

Para todo número real \( c \), se tiene que:

Si \( a + c < b + c \), si y solo si \( a < b \).

Ejemplos:

  1. Ejemplo 1: Si \( a + 3 = 5 \) y \( b + 3 = 8 \) (lo que implica \( a = 2 \) y \( b = 5 \)), entonces \( 2 < 5 \).
  2. Ejemplo 2: Si \( a + 4 = 3 \) y \( b + 4 = 7 \) (lo que implica \( a = -1 \) y \( b = 2 \)), entonces \( -1 < 2 \).

2. Mayor que

Para todo número real \( c \), se tiene que:

Si \( a + c > b + c \), si y solo si \( a > b \).

Ejemplos:

  1. Ejemplo 1: Si \( a + 2 = 6 \) y \( b + 2 = 3 \) (lo que implica \( a = 4 \) y \( b = 1 \)), entonces \( 4 > 1 \).
  2. Ejemplo 2: Si \( a + 2 = 4 \) y \( b + 2 = 1 \) (lo que implica \( a = 2 \) y \( b = -1 \)), entonces \( 2 > -1 \).

3. Menor o igual que

Para todo número real \( c \), se tiene que:

Si \( a + c \leq b + c \), si y solo si \( a \leq b \).

Ejemplos:

  1. Ejemplo 1: Si \( a + 2 = 3 \) y \( b + 2 = 5 \) (lo que implica \( a = 1 \) y \( b = 3 \)), entonces \( 1 \leq 3 \).
  2. Ejemplo 2: Si \( a + 1 = -2 \) y \( b + 1 = -2 \) (lo que implica \( a = -3 \) y \( b = -3 \)), entonces \( -3 \leq -3 \).

4. Mayor o igual que

Para todo número real \( c \), se tiene que:

Si \( a + c \geq b + c \), si y solo si \( a \geq b \).

Ejemplos:

  1. Ejemplo 1: Si \( a + 3 = 5 \) y \( b + 3 = 4 \) (lo que implica \( a = 2 \) y \( b = 1 \)), entonces \( 2 \geq 1 \).
  2. Ejemplo 2: Si \( a + 5 = 6 \) y \( b + 5 = 6 \) (lo que implica \( a = 1 \) y \( b = 1 \)), entonces \( 1 \geq 1 \).

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