Números reales. Operaciones sobre números reales.

Conjuntos de Números

1. Números Naturales (ℕ): {1, 2, 3, ...}
2. Números Enteros (ℤ): {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
3. Números Racionales (ℚ): Números que pueden expresarse como el cociente de dos enteros, por ejemplo, \( \frac{1}{2} \), \( -\frac{3}{4} \), 5, etc.
   • ℕ ⊆ ℚ (los números naturales son un subconjunto de los números racionales).
   • ℤ ⊆ ℚ (los números enteros son un subconjunto de los números racionales).
4. Números Irracionales (ℐ): Números que no pueden expresarse como una fracción de dos enteros, como \( \sqrt{2} \), \( \pi \) y \( e \).
5. Números Reales (ℝ): ℝ = ℚ ∪ ℐ.
   • ℚ ⊆ ℝ (todos los números racionales son un subconjunto de los números reales).
   • ℐ ⊆ ℝ (todos los números irracionales son un subconjunto de los números reales).

Así, los números reales comprenden tanto los racionales como los irracionales.

Propiedades Algebraicas de los Números Reales

1. Propiedad de Clausura
   • Adición: Si \( a \) y \( b \) son números reales, entonces \( a + b \) también es un número real.
   • Multiplicación: Si \( a \) y \( b \) son números reales, entonces \( a \times b \) también es un número real.
2. Propiedad Asociativa
   • Adición: \( (a + b) + c = a + (b + c) \) para cualesquiera números reales \( a, b, c \).
   • Multiplicación: \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \) para cualesquiera números reales \( a, b, c \).
3. Propiedad Conmutativa
   • Adición: \( a + b = b + a \) para cualesquiera números reales \( a \) y \( b \).
   • Multiplicación: \( a \times b = b \times a \) para cualesquiera números reales \( a \) y \( b \).
4. Elemento Neutro
   • Adición: El elemento neutro es 0, ya que \( a + 0 = a \) para cualquier número real \( a \).
   • Multiplicación: El elemento neutro es 1, ya que \( a \times 1 = a \) para cualquier número real \( a \).
5. Opuestos e Inversos
   • Adición: Para cada número real \( a \), existe un opuesto \( -a \) tal que \( a + (-a) = 0 \).
   • Multiplicación: Para cada número real \( a \) distinto de 0, existe un inverso \( \frac{1}{a} \) tal que \( a \times \frac{1}{a} = 1 \).
6. Propiedad Distributiva
   • Esta propiedad relaciona la adición y la multiplicación: \[ a \times (b + c) = a \times b + a \times c \] para cualesquiera números reales \( a, b, c \).

Estas propiedades son esenciales para el estudio y la manipulación de los números reales en álgebra.

A continuación, se presentará un conjunto de teoremas que son n..ecesarios para todo lo que necesitemos en adelante.

Teorema 1: Ley de Cancelación para la Adición

Para todo número real \( a \), \( b \) y \( c \), se tiene que:

\( a + c = b + c \) si y solo si \( a = b \).

Esta propiedad es la que sirve para desejar incógnitas en ecuaciones lineales:

Ejemplo:

Encuentre el valor de \( x \) en la ecuación \( x + 5 = 7 \).

Solución:

\[ x + 5 = 7 \]

\[ (x + 5) + (-5) = 7 + (-5) \quad \text{(Sumando a ambos miembros } (-5)\text{)} \]

\[ x + (5 + (-5)) = 2 \quad \text{(Propiedad asociativa)} \]

\[ x + 0 = 2 \quad \text{(Opuesto aditivo)} \]

\[ x = 2 \quad \text{(Neutro aditivo)} \]

Una regla mnemotécnica que ayuda a simplificar esto es:

Todo lo que está sumando en un miembro, pasa restando y viceversa.

Teorema 2: Ley de Cancelación para la multiplicación

Para todo número real \( a \), \( b \) y \( c \neq 0 \), se tiene que:

\( a \cdot c = b \cdot c \) si y solo si \( a = b \).

Veamos la plicación en ecuaciones de primer grado:

Ejemplo:

Encuentre el valor de \( x \) en la ecuación \( 5 \cdot x = 10 \).

Solución:

$$ \begin{align*} 5x & = 10 \\ (5x) \cdot \frac{1}{5} & = 10 \cdot \frac{1}{5} \quad \text{(Multiplicamos por } \frac{1}{5} \text{ en ambos lados)} \\ (x \cdot 5) \cdot \frac{1}{5} & = 2 \quad \text{(Propiedad conmutativa)} \\ x \cdot (5 \cdot \frac{1}{5}) & = 2 \quad \text{(Propiedad asociativa)} \\ x \cdot 1 & = 2 \quad \text{(Inverso multiplicativo)} \\ x & = 2 \quad \text{(Neutro multiplicativo)} \end{align*} $$

Teorema 3: Unicidad del neutro aditivo

El neutro aditivo es único.

Teorema 4: Unicidad del neutro multiplicativo

El neutro multiplicativo es único.

Teorema 5: Opuesto del opuesto

El neutro aditivo es único.

Teorema 6:

$$ -(-a) = a $$

Teorema 7: Inverso del inverso

$$ (a^{-1})^{-1} $$

Teorema 8:

Para todo \( a \), se tiene que:

$$ (-1) \cdot a = -a $$

Teorema 9:

Para todo par, de reales \( a \), \( b \), se tiene

$$ (-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -a \cdot b $$

Teorema 10:

Para todo real \( a \), se tiene:

$$ a \cdot 0 = 0 $$