Tema 1.1: Teoría: Números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales. Operaciones.

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TEMA 1: Números naturales. Números pares. Números impares.

VG.1.1.1. VG.1.1.2.

Números Naturales \(\mathbb{N}\)

Los números naturales son los números que usamos para contar y ordenar. Incluyen todos los números enteros positivos.

El conjunto de los números naturales se denota comúnmente con la letra \(\mathbb{N}\).

Ejemplos de Números Naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Uso de los números naturales:

Contar: Usamos los números naturales para contar objetos y eventos. Por ejemplo, contar el número de estudiantes en una clase.
Ordenar: Nos ayudan a poner cosas en orden secuencial. Por ejemplo, clasificar a los corredores en una carrera según su posición.

Los números \(1, 2, 3, 4, \ldots\) son números naturales. Escribimos:

\(1 \in \mathbb{N}\), \(2 \in \mathbb{N}\), \(3 \in \mathbb{N}\), \(4 \in \mathbb{N}\), entendiendo por \(\mathbb{N}\) el conjunto de los números naturales.

Para graficar los números naturales hacemos una línea recta comenzando en 0 y trazamos puntos equidistantes a la derecha. De izquierda a derecha colocamos los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... como sigue:

Importancia: Los números naturales son la base para entender conceptos matemáticos más avanzados, como los números enteros, racionales e irracionales.

Números Enteros \(\mathbb{Z}\)

Los números enteros incluyen tanto los números naturales como sus opuestos negativos y el cero. Así, el conjunto de los números enteros incluye números positivos, negativos y el cero.

El conjunto de los números enteros se denota comúnmente con la letra \(\mathbb{Z}\).

Ejemplos de Números Enteros: \(...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\)

Uso de los números enteros:

Medir: Los números enteros son útiles para medir y representar situaciones con valores positivos y negativos. Por ejemplo, temperaturas por debajo de cero.

Contar y Ordenar: Al igual que los números naturales, los enteros también se usan para contar y ordenar, pero incluyen tanto valores positivos como negativos.

Los números \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\) son números enteros. Escribimos:

\(-3 \in \mathbb{Z}\), \(-2 \in \mathbb{Z}\), \(-1 \in \mathbb{Z}\), \(0 \in \mathbb{Z}\), \(1 \in \mathbb{Z}\), \(2 \in \mathbb{Z}\), \(3 \in \mathbb{Z}\), entendiendo por \(\mathbb{Z}\) el conjunto de los números enteros.

Para graficar los números enteros hacemos una línea recta comenzando en 0 y trazamos puntos equidistantes a la derecha y a la izquierda. De izquierda a derecha colocamos los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... como sigue. Dercha a izquierda, trazamos -1, -2, -3, -4, ..., como sigue:

Importancia: Los números enteros amplían los números naturales al incluir valores negativos y el cero, lo que permite una representación más completa de diversas situaciones matemáticas y reales.

Números Racionales \(\mathbb{Q}\)

Los números racionales son aquellos números que pueden expresarse como el cociente de dos enteros, donde el denominador no es cero. Es decir, un número racional es cualquier número que puede escribirse en la forma \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son enteros y \(b \ne 0\).

El conjunto de los números racionales se denota comúnmente con la letra \(\mathbb{Q}\).

Ejemplos de Números Racionales: \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), \(5\), \(-2\), \(\frac{7}{1}\)

Uso de los números racionales:

Representar Fracciones: Los números racionales son útiles para representar fracciones y proporciones. Por ejemplo, \(\frac{1}{2}\) representa la mitad de algo.
División: Permiten representar la división de enteros. Por ejemplo, \(\frac{6}{3} = 2\).

Expresión Decimal de Números Racionales

La expresión decimal de un número racional puede ser:

• Un número entero: Algunos números racionales, como \(5\) o \(-3\), tienen una representación decimal que es simplemente un número entero.
• Una expresión decimal finita: Algunos números racionales tienen una expresión decimal que termina después de un número finito de dígitos. Por ejemplo, \(\frac{1}{4} = 0.25\).
• Una expresión decimal periódica: Algunos números racionales tienen una expresión decimal que se repite indefinidamente. Estas se dividen en dos tipos:
  • Periódica Pura: La parte decimal de la expresión comienza a repetirse inmediatamente. Por ejemplo, \(\frac{1}{3} = 0.\overline{3}\), donde el \(3\) se repite.
  • Periódica Mixta: La parte decimal tiene una secuencia no repetitiva seguida de una secuencia repetitiva. Por ejemplo, \(\frac{7}{22} = 0.3181\overline{81}\), donde \(81\) es la parte que se repite.

Ejemplos:

Periódica Pura:

El número \(\frac{1}{3}\) tiene una expresión decimal periódica pura:

\[ \frac{1}{3} = 0.\overline{3} \]

Periódica Mixta:

El número \(\frac{7}{22}\) tiene una expresión decimal periódica mixta:

\[ \frac{7}{22} = 0.3181\overline{81} \]

Donde:

• Fracción Generatriz de \(0.\overline{3}\): \(\frac{1}{3}\)
• Fracción Generatriz de \(0.3181\overline{81}\): \(\frac{7}{22}\)

Un ejemplo de uso de los números racionales es cuando queremos representar una cantidad no entera, como por ejemplo, tres cuartos (\(\frac{3}{4}\)).

A continuación se muestra un dibujo de una torta representando el número tres cuartos. En la torta, el número tres representa la parte azul de la torta y el número cuatro representa las cuatro partes en las que la torta está dividida.

Números Irracionales

Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. En otras palabras, no se pueden escribir en la forma \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son enteros y \(b \ne 0\).

Los números irracionales tienen una expresión decimal que es infinita y no periódica, lo que significa que sus dígitos después del punto decimal no se repiten en un patrón regular.

Ejemplos Claves de Números Irracionales:

• Raíz Cuadrada de 2: \(\sqrt{2} \approx 1.414213...\)
• Raíz Cuadrada de 3: \(\sqrt{3} \approx 1.732050...\)
• El Número Pi (\(\pi\)): \(\pi \approx 3.141592...\)
• La Razón Áurea (\(\phi\)): \(\phi \approx 1.618033...\)
• El Número de Euler (e): \(e \approx 2.718281...\)

Estos números son fundamentales en matemáticas y tienen aplicaciones en diversas áreas como la geometría, el cálculo y la teoría de números.

Para un repaso de las operaciones con fracciones, puedes hacer clic aquí.

Operaciones con Fracciones

Las fracciones pueden ser sumadas, restadas, multiplicadas y divididas entre sí, así como con números naturales y enteros. A continuación, se presentan las reglas y ejemplos para cada operación.

Suma de Fracciones

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, primero debes encontrar un denominador común. La fórmula general para sumar fracciones es:

\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \]

Ejemplo:

Suma de \(\frac{2}{5} + \frac{3}{10}\):

1. Aplica la fórmula:

\[ \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2 \times 10 + 5 \times 3}{5 \times 10} = \frac{20 + 15}{50} = \frac{35}{50} \]

2. Simplifica la fracción:

\[ \frac{35}{50} = \frac{7}{10} \text{ (simplificando dividiendo el numerador y el denominador entre 5)} \]

Resta de Fracciones

Para restar fracciones con diferentes denominadores, primero debes encontrar un denominador común. La fórmula general para restar fracciones es:

\[ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd} \]

Ejemplo:

Resta de \(\frac{7}{8} - \frac{1}{4}\):

1. Aplica la fórmula:

\[ \frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7 \times 4 - 8 \times 1}{8 \times 4} = \frac{28 - 8}{32} = \frac{20}{32} \]

2. Simplifica la fracción:

\[ \frac{20}{32} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \text{ (simplificando)} \]

Multiplicación de Fracciones

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. La fórmula general para la multiplicación de fracciones es:

\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \]

Ejemplo:

Multiplicación de \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}\):

1. Aplica la fórmula:

\[ \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} \]

2. Simplifica la fracción:

\[ \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \text{ (simplificando)} \]

División de Fracciones

Para dividir fracciones, multiplica por el inverso de la segunda fracción. La fórmula general para la división de fracciones es:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc} \]

Ejemplo:

División de \(\frac{4}{7} \div \frac{2}{3}\):

1. Aplica la fórmula:

\[ \frac{4}{7} \div \frac{2}{3} = \frac{4 \times 3}{7 \times 2} = \frac{12}{14} \]

2. Simplifica la fracción:

\[ \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \text{ (simplificando)} \]

Operaciones con Números Naturales y Enteros

Las fracciones también se pueden operar con números naturales y enteros:

• Suma: Para sumar una fracción con un número entero, conviérte el entero en fracción y usa las fórmulas anteriores.
• Ejemplo: \(\frac{2}{5} + 3\) se convierte en \(\frac{2}{5} + \frac{3}{1} = \frac{2 \times 1 + 5 \times 3}{5 \times 1}=\frac{2+15}{5}=\frac{17}{5}\).
• Resta: Similar a la suma, convierte el número entero a una fracción antes de restar.
• Ejemplo: \(5 - \frac{1}{3}\) se convierte en \(\frac{5}{1} - \frac{1}{3} = \frac{5 \times 3 - 1 \times 1}{1 \times 3}=\frac{15-1}{3}=\frac{14}{3}\).
• Multiplicación: Multiplica la fracción por el número entero tratado como una fracción con denominador 1.
• Ejemplo: \(\frac{3}{4} \times 4\) se convierte en \(\frac{3}{4} \times \frac{4}{1} =\frac{3 \times 4}{4 \times 1}=\frac{12}{4} = 3\).
• División: Divide la fracción por el número entero tratado como una fracción con denominador 1.
• Ejemplo: \(\frac{5}{6} \div 2\) se convierte en \(\frac{5}{6} \div \frac{2}{1} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{2} =\frac{5 \times 1}{6 \times 2}= \frac{5}{12}\).

EJERCICIOS RESUELTOS ERG.1.1.1.

A continuación se presenta un conjunto de números, de los cuales debes decir si son naturales, enteros o racionales:

Ejercicios

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EJERCICIOS PROPUESTOS ERG.1.1.1.

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