Tema 0.5: Números racionales. Fracciones. Fracción generatriz.

Matemáticas: Números Racionales y Fracciones

Números Racionales

Un número racional es cualquier número que puede ser expresado como el cociente o fracción \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son enteros y \(b \neq 0\). Ejemplos de números racionales incluyen \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{4}\), y \(7\) (que se puede expresar como \(\frac{7}{1}\)).

Partes de una Fracción

Una fracción se compone de dos partes principales:

• Numerador: El número arriba de la línea de fracción que indica cuántas partes se toman.
• Denominador: El número debajo de la línea de fracción que indica en cuántas partes se divide el todo.

\[ \frac{a}{b} \]

Donde \(a\) es el numerador y \(b\) es el denominador.

Simplificación de Fracciones

La simplificación de fracciones implica reducir la fracción a su forma más simple. Para simplificar una fracción:

1. Encuentra el máximo común divisor (MCD) del numerador y el denominador.
2. Divide el numerador y el denominador por su MCD.

Por ejemplo, para simplificar \(\frac{8}{12}\):

El MCD de 8 y 12 es 4.

\[ \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} \]

Ampliación de Fracciones

Ampliar una fracción significa multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, lo que no cambia el valor de la fracción pero puede hacerla más fácil de comparar o utilizar en cálculos. Para ampliar una fracción:

1. Multiplica el numerador y el denominador por el mismo número.

Por ejemplo, para ampliar \(\frac{2}{3}\) por 2:

\[ \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \]

Expresiones Decimales

Las fracciones también se pueden expresar como decimales. Dependiendo de la fracción, el decimal puede ser:

• Decimal Finito: Tiene un número limitado de dígitos después del punto decimal. Ejemplo: \(0.75\).
• Decimal Infinito Periódico: Tiene un patrón repetitivo que se repite infinitamente después del punto decimal.

Decimales Periódicos

Un decimal periódico puede ser:

• Periódico Puro: El período comienza inmediatamente después del punto decimal. Ejemplo: \(0.\overline{3}\).
• Periódico Mixto: Tiene un anteperíodo seguido de un período que se repite. Ejemplo: \(0.1\overline{6}\).

Definiciones de Período y Anteperíodo

Para calcular la fracción generatriz, es importante entender las definiciones de período y anteperíodo:

• Período: Es la parte de la expresión decimal que se repite infinitamente. Por ejemplo, en \(0.\overline{6}\), el período es "6".
• Anteperíodo: Es la parte de la expresión decimal que precede al período y no se repite. Por ejemplo, en \(0.1\overline{6}\), el anteperíodo es "1".

Fracción Generatriz

La fracción generatriz de una expresión decimal periódica es la fracción equivalente a esa expresión decimal. Aquí está el método para calcularla:

Cálculo de la Fracción Generatriz

Una fracción decimal periódica es igual a una fracción cuyo numerador es la diferencia entre la expresión decimal sin el punto decimal y la expresión decimal sin el punto decimal y sin el período, y cuyo denominador comienza con tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplos de Fracción Generatriz

1. Expresión Decimal Periódica Pura

Para \(0.\overline{35}\), donde el período es "35":

1. Identifica los números:
   • Número completo (sin punto decimal): 35.
   • Número sin el período: 0.


2. Construye la fracción:
   • Numerador: \(35 - 0 = 35\)
   • Denominador: Para un período de 2 dígitos "35", el denominador es \(99\) (dos 9's para el período).


3. Fracción Generatriz:

\[ \frac{35}{99} \]

2. Expresión Decimal Periódica Mixta

Para \(2.23\overline{56}\), donde el anteperíodo es "23" y el período es "56":

1. Identifica los números:
   • Número completo (sin punto decimal): 22356.
   • Número sin el período (solo anteperíodo): 223.


2. Construye la fracción:
   • Numerador: \(22356 - 223 = 22133\)
   • Denominador: Para un período de 2 dígitos "56" y un anteperíodo de 2 dígitos, el denominador es \(9900\) (dos 9's para el período y dos 0's para el anteperíodo).


3. Fracción Generatriz:

\[ \frac{22133}{9900} \]

Ejemplos

1. Expresión Decimal Finita Periódica

Para \(0.12\overline{3}\), donde el anteperíodo es "12" y el período es "3":

1. Identifica los números:
   • Número completo (sin punto decimal): 123.
   • Número sin el período (solo anteperíodo): 12.


2. Construye la fracción:
   • Numerador: \(123 - 12 = 111\)
   • Denominador: Para un período de 1 dígito "3" y un anteperíodo de 2 dígitos, el denominador es \(990\) (dos 9's para el período de 1 dígito y dos 0's para el anteperíodo).


3. Fracción Generatriz:

\[ \frac{111}{990} \]

4. Simplificación:

\[ \frac{111}{990} = \frac{37}{330} \]

2. Expresión Decimal Periódica Pura

Para \(0.\overline{6}\), donde el período es "6":

1. Identifica los números:
   • Número completo (sin punto decimal): 6.
   • Número sin el período: 0.


2. Construye la fracción:
   • Numerador: \(6 - 0 = 6\)
   • Denominador: Para un período de 1 dígito "6", el denominador es \(9\) (un 9 para el período).


3. Fracción Generatriz:

\[ \frac{6}{9} \]

4. Simplificación:

\[ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

3. Expresión Decimal Periódica Mixta

Para \(0.3\overline{6}\), donde el anteperíodo es "3" y el período es "6":

1. Identifica los números:
   • Número completo (sin punto decimal): 36.
   • Número sin el período (solo anteperíodo): 3.


2. Construye la fracción:
   • Numerador: \(36 - 3 = 33\)
   • Denominador: Para un período de 1 dígito "6" y un anteperíodo de 1 dígito, el denominador es \(90\) (un 9 para el período y un 0 para el anteperíodo).


3. Fracción Generatriz:

\[ \frac{33}{90} \]

4. Simplificación:

\[ \frac{33}{90} = \frac{11}{30} \]

EJERCICIOS PROPUESTOS EP.0.5.1

Para resolver el ejercicio propuesto, descargue el siguiente pdf: EJERCICIO PROPUESTOS

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