Tema 0.4: Números primos. Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo.

Números Primos, MCD y MCM

¿Qué son los Números Primos?

Un número primo es un número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. En otras palabras, un número primo no puede ser dividido por ningún otro número entero, excepto por 1 y el propio número sin obtener un residuo.

Ejemplos de números primos son \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\), etc. El número \(2\) es el único número primo par, ya que todos los demás números pares son divisibles por \(2\).

Propiedades de los Números Primos

1. Únicamente Divisibles por 1 y por Sí Mismos:

Los números primos solo tienen dos divisores, 1 y el número en sí. Por ejemplo, \(7\) es un número primo porque sus únicos divisores son \(1\) y \(7\).

2. El Número 2 es el Único Número Primo Par:

Todos los demás números pares son divisibles por \(2\), lo que significa que no son primos.

¿Cómo Determinar si un Número es Primo?

Un número entero \( n \) es primo si y solo si no es divisible por ningún número primo que sea menor o igual a su raíz cuadrada. Para verificar si un número es primo, sigue estos pasos:

  1. Calcula la raíz cuadrada de \( n \), redondeando al entero más cercano si es necesario.
  2. Verifica si \( n \) es divisible por cualquier número primo menor o igual a esta raíz cuadrada.
  3. Si no es divisible por ninguno de estos números primos, entonces \( n \) es primo.

Ejemplos:

  • Ejemplo 1: Para determinar si \(29\) es primo:
    • Raíz cuadrada de \(29\) es aproximadamente \(5.39\). Considera los números primos menores o iguales a \(5.39\) (2, 3, 5).
    • Verifica la divisibilidad: \(29\) no es divisible por \(2\), \(3\), ni \(5\).
    • Por lo tanto, \(29\) es primo.
  • Ejemplo 2: Para determinar si \(37\) es primo:
    • Raíz cuadrada de \(37\) es aproximadamente \(6.08\). Considera los números primos menores o iguales a \(6.08\) (2, 3, 5).
    • Verifica la divisibilidad: \(37\) no es divisible por \(2\), \(3\), ni \(5\).
    • Por lo tanto, \(37\) es primo.
  • Ejemplo 3: Para determinar si \(41\) es primo:
    • Raíz cuadrada de \(41\) es aproximadamente \(6.40\). Considera los números primos menores o iguales a \(6.40\) (2, 3, 5).
    • Verifica la divisibilidad: \(41\) no es divisible por \(2\), \(3\), ni \(5\).
    • Por lo tanto, \(41\) es primo.

Contraejemplo:

Para determinar si \(35\) es primo:

  • Raíz cuadrada de \(35\) es aproximadamente \(5.92\). Considera los números primos menores o iguales a \(5.92\) (2, 3, 5).
  • Verifica la divisibilidad: \(35\) es divisible por \(5\) (ya que \(35 \div 5 = 7\)).
  • Por lo tanto, \(35\) no es primo, es un número compuesto.

Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Máximo Común Divisor (MCD)

El Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor número que divide exactamente a cada uno de esos números. Para encontrar el MCD, puedes utilizar varios métodos, como la descomposición en factores primos o el algoritmo de Euclides.

Ejemplo: Encontrar el MCD de \(100\), \(150\) y \(200\):

Para proceder, debemos dividir todos los números por los números primeros que son divisiores de todos es números. La dscomposición termina cuando ya no haya mas dvisores comunes. Al final, multiplicamos todos los divisores y ese sera nuestro máximo común divisor.

Veamos:

Núm 1 Núm 2 Núm 3 Divisores
100 150 200 2
50 75 100 5
10 15 20 5
2 3 4 50

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números es el menor número que es múltiplo de cada uno de esos números. Puedes calcular el MCM utilizando la descomposición en factores primos y tomando el producto de todos los factores primos presentes con el mayor exponente.

Ejemplo: Encontrar el MCM de \(100\), \(150\) y \(200\):

Para esto vamos dividiendo los números por los números primos que dividen a al menos uno de ellos. Si alguno de ellos resulta ser divisible, colocamos el coociente, sino, se deja igual. La descomposición habrá terminado cuando los cocientes sean todos 1.

Veamos:

Núm 1 Núm 2 Núm 3 Div
100 150 200 2
50 75 100 2
25 75 50 2
25 75 25 3
25 25 25 5
5 5 5 5
1 1 1 600


Ahora multiplicamos todos los números debajo de la columna "Div" y ese será nuestro mínimo colún múltiplo: \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 600\).

EJERCICIOS RESUELTOS ER.0.4.1.

Para realizar el ejercicio, haz clic en el siguiente botón: EJERCICIO

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