Tema 0.3: Divisibilidad. Criterios de divisibilidad
Divisibilidad de Números Enteros
Se dice que un número entero \( b \) divide a otro número entero \( a \) (donde \( b \neq 0 \)) si existe un número entero \( c \) tal que
\( a = b \times c \).
En este caso, se escribe \( b \mid a \), y decimos que \( b \) es un divisor de \( a \), y \( a \) es un múltiplo de \( b \).
Ejemplo 1:
\( 3 \mid 12 \) porque si multiplicamos \( 3 \) por \( 4 \), obtenemos \( 12 \). Es decir, \( 12 = 3 \times 4 \). Por lo tanto, \( 3 \) divide a \( 12 \).
Ejemplo 2:
\( 5 \mid 20 \) porque si multiplicamos \( 5 \) por \( 4 \), obtenemos \( 20 \). Es decir, \( 20 = 5 \times 4 \). Por lo tanto, \( 5 \) divide a \( 20 \).
Ejemplo 3:
\( 6 \mid 30 \) porque si multiplicamos \( 6 \) por \( 5 \), obtenemos \( 30 \). Es decir, \( 30 = 6 \times 5 \). Por lo tanto, \( 6 \) divide a \( 30 \).
Contraejemplo:
\( 3 \nmid 7 \) porque no existe un número entero \( c \) tal que \( 7 = 3 \times c \). Si intentamos dividir \( 7 \) entre \( 3 \), el cociente es aproximadamente \( 2.333 \), que no es un número entero. Por lo tanto, \( 3 \) no divide a \( 7 \).
Ejercicio:
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Criterios de Divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que nos permiten determinar si un número entero es divisible por otro sin necesidad de realizar la división completa. Estas reglas se basan en las propiedades específicas de los números y facilitan la identificación rápida de factores y múltiplos. Conociendo estos criterios, podemos simplificar cálculos y resolver problemas matemáticos de manera más eficiente. A continuación, se presentan algunos de los criterios de divisibilidad más comunes para números enteros.
Criterio de Divisibilidad por 2:
Un número es divisible por \( 2 \) si su última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8).
Ejemplo: \( 42 \) es divisible por \( 2 \) porque termina en \( 2 \). Es decir: \( 42 = 2 \times 21 \).
Criterio de Divisibilidad por 3:
Un número es divisible por \( 3 \) si la suma de sus dígitos es divisible por \( 3 \).
Ejemplo: Para \( 123 \), la suma de los dígitos es \( 1 + 2 + 3 = 6 \), que es divisible por \( 3 \). Por lo tanto, \( 123 \) es divisible por \( 3 \) (es decir, \( 123 = 3 \times 41 \)).
Criterio de Divisibilidad por 5:
Un número es divisible por \( 5 \) si su última cifra es \( 0 \) o \( 5 \).
Ejemplo: \( 65 \) es divisible por \( 5 \) porque termina en \( 5 \). Es decir: \( 65 = 5 \times 13 \).
Criterio de Divisibilidad por 7:
Un número es divisible por \( 7 \) si, al restar dos veces la última cifra del número al resto de los dígitos, el resultado es divisible por \( 7 \).
Ejemplo: Para \( 154 \), restamos 4 de 15, obteniendo 11, restamos de nuevo \( 11 - 4 = 7 \) y obtenemos 7 que es divisible por \( 7 \). Por lo tanto, \( 154 \) es divisible por \( 7 \) (es decir, \( 154 = 7 \times 22 \)).
Criterio de Divisibilidad por 10:
Un número es divisible por \( 10 \) si su última cifra es \( 0 \).
Ejemplo: \( 120 \) es divisible por \( 10 \) porque termina en \( 0 \). Es decir: \( 120 = 10 \times 12 \).
Criterio de Divisibilidad por 11:
Un número es divisible por \( 11 \) si la diferencia entre la suma de los dígitos en las posiciones impares y la suma de los dígitos en las posiciones pares es un múltiplo de \( 11 \) (incluido \( 0 \)).
Ejemplo: Para \( 2728 \), la suma de los dígitos en las posiciones impares es \( 2 + 2 = 4 \), y la suma de los dígitos en las posiciones pares es \( 7 + 8 = 15 \). La diferencia es \( 15 - 4 = 11 \), que es divisible por \( 11 \). Por lo tanto, \( 2728 \) es divisible por \( 11 \) (es decir, \( 2728 = 11 \times 248 \)).
Para resolver este ejercicio, haz clic aquí: EJERCICIO
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